Классы
Предметы

Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно

На предыдущих уроках мы раскладывали на множители числовые выражения. На этом уроке мы узнаем о разложении на множители буквенных алгебраических выражений, для этого вспомним распределительный закон. И с помощью различных примеров рассмотрим, где разложение на множители алгебраических выражений может быть применено.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Распределительный закон

Нам известно распределительное свойство умножения, которое называется распределительным законом. Выглядит этот закон следующим образом:

То есть существует сумма, которая преобразуется в произведение – это называется разложение на множители.

Распределительный закон справедлив и для вычитания, и для нескольких чисел:

Задача 1

Вычислите значение выражения  при ; ; .

Решение

Для вычисления значения данного выражения можно подставить известные нам числа и умножить 4,7 на 3,8, затем умножить 4,7 на 6,2, далее полученные в результате умножения числа сложить:

 

Однако для упрощения вычисления значения данного выражения применим распределительный закон:

 

Таким образом, необходимо выполнить всего два действия – сложение и умножение:

 

Ответ: 47.

Доказательство деления выражения на число с помощью разложения на множители

С помощью разложения на множители можно доказывать, что некоторое буквенное выражение делится на число.

Задача 2

Докажите, что  делится на 11.

Доказательство

Для доказательства необходимо разложить данное выражение на множители, при этом один из множителей в полученном выражении должен быть равен 11.

По свойству степеней:

 

 

Таким образом, данное в условие выражение можно представить в виде:

 

Вынесем общий множитель  за скобку:

 

Данное выражение делится на 11, так как один из его сомножителей равен 11. Что и требовалось доказать.

Сокращение алгебраических дробей

Алгебраические дроби – дроби, у которых числитель и знаменатель могут быть алгебраическими выражениями (содержать в себе переменные).

Для сокращения таких дробей необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, сократив после этого общий множитель.

Задача 3

Сократите дробь: .

Решение

Для выражений в числителе есть общий множитель , который можно вынести за скобку. Также можно вынести за скобку  и в знаменателе:

 

Следовательно, можно сократить данную дробь на :

 

Ответ: .

Решение уравнений с помощью разложения на множители

С помощью разложения на множители можно решать весьма непростые уравнения, например уравнения в целых или натуральных числах. 

Задача 4

Найти все пары целых  и , таких, что , где .

Решение

Вынесем общий множитель в левой части уравнения за скобку:

 

Следовательно, в левой части данного уравнения находится произведение целых чисел, а в правой части единица.

Какие целые числа в произведении могут давать 1? Либо 1 на 1, либо -1 на -1. Получаем два случая:

а)

б)

Ответ: , .


 

Пример

Решите уравнение: , где  ( и  – натуральные числа).

Решение

Вынесем  из первых двух слагаемых выражения в левой части уравнения:

 

Прибавим к обеим частям данного выражения число 2:

 

 

 возьмем в скобки и умножим на 1:

 

Видно, что  является общим множителем для левой части уравнения. Вынесем этот общий множитель за скобку.

 

Какие натуральные числа в произведении дают 27? 1 и 27 либо 9 и 3. Первый вариант не подходит, так как  и  натуральные и каждая скобка будет больше 1. Следовательно, если выражение , то , или наоборот, если , то .

Разберем два возможных случая:

а) ,

,  

б) ,

,  

Ответ: , .

Итоги урока

На этом уроке мы познакомились с понятием разложения на множители алгебраических выражений. С помощью различных примеров мы узнали, где разложение на множители может быть применено.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г., Н.П. Николаев. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение. 2010.

4. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение. 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Видеохостинг "YouTube" (Источник)

2. Интернет портал "МетаШкола" (Источник)

3. Интернет портал "Intemodino Group" (Источник)

 

Домашнее задание

1. Задания 540, 547, 586, 671 (стр. 67-78) – Мордкович А.Г. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (см. список рекомендованной литературы)

2. Разложить многочлен на множители .

3. Решите уравнение .