Классы
Предметы

Практика. Степени, одночлены, многочлены

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Практика. Степени, одночлены, многочлены

На этом уроке мы потренируемся решать различные задачи, связанные со степенями, одночленами и многочленами. В частности, потренируемся выполнять действия со степенями и одночленами, раскрывать скобки, раскладывать многочлены на множители.

Степень с натуральным показателем

Степенью с показателем  и основанием  называется произведение  множителей, каждый из которых равен :

где  – основание степени,  – показатель степени, .

 

Свойства степени с натуральным показателем

Задания на упрощение выражений со степенями за редким исключением решаются по одному алгоритму:

1.                  Разложить основания степеней на множители (те, которые можем).

2.                  Сгруппировать степени с одинаковыми основаниями.

3.                  Использовать свойства степени для упрощения полученного выражения.

Рассмотрим применение этого алгоритма на конкретных примерах.

 

Пример 1

Упростить и вычислить:

Решение

Сначала разложим основания степеней на простые множители:

Тогда:

Воспользуемся свойствами:

Получим:

Мы получили отношение двух дробей. Вспомним, что деление на число можно заменить эквивалентным действием – умножением на число, ему обратное. А обратное число к дроби – это перевернутая дробь:

Cгруппируем степенис одинаковым основанием:

Используем свойство :

А теперь используем свойство :

Ответ: .

 

Пример 2

Упростить и вычислить:

Решение

Сначала разложим основания степеней на простые множители:

Перепишем выражение:

Воспользуемся следующими свойствами :

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

Ответ: .

Одночлены

Одночлен – это произведение чисел и степеней переменных с натуральными показателями (например: ). Если перемножить все числа (полученное в результате число называется коэффициентом одночлена), а также все степени с одинаковыми основаниями, то получится стандартная запись одночлена: , где  – числовой коэффициент,  – натуральные числа.

Степень одночлена – это сумма показателей степени всех переменных, которые входят в стандартную запись одночлена (например, :  – степень одночлена).

Рассмотрим несколько примеров, в которых необходимо выполнять действия с одночленами. В таких заданиях нам понадобится только умение работать со степенями.

 

Пример 3

Представить одночлен в стандартном виде, указать его коэффициент и степень:

Решение

Рассмотрим первый множитель:

Рассмотрим второй множитель:

Перепишем выражение:

Коэффициент: , степень: .

Ответ: .

 

Пример 4

Представить одночлен в стандартном виде, указать его коэффициент и степень:

Решение

Коэффициент: , степень: .

Ответ: .

Многочлены

Многочлен – сумма одночленов, например:  (одночлен – частный случай многочлена).

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно:

1.         Привести к стандартному виду все одночлены, которые входят в состав многочлена: .

2.         Привести подобные слагаемые – сложить одночлены с одинаковой буквенной частью: .

 

Степень многочлена – это наибольшая из степеней одночленов в стандартной записи многочлена: .

Рассмотрим несколько примеров, в которых необходимо выполнять действия с многочленами. В таких заданиях нам понадобится умение работать с одночленами, а также распределительный закон и следствия из него:

 

Пример 5

Привести многочлен к стандартному виду и определить его степень:

1.        

Раскроем скобки. Помним, что если перед скобками стоит знак «минус», то все слагаемые в скобках меняют свой знак на противоположный:

            Приведем подобные слагаемые:

Степень: .

 

2.        

Раскроем скобки, используя распределительный закон:

Степень: .

 

3.        

Раскроем скобки:

Степень: .

Ответ: .

 

Пример 6

Найти значение выражения:

если

Решение

Заметим, что все одночлены выражения содержат множитель :

Вынесем общий множитель за скобки:

Подставим в выражение известные значения :

Заменим дроби на неправильные и приведем их к общему знаменателю:

Ответ: .

 

Пример 7

Доказать, что при каждом целом значении  значение выражения  делится на .

 

Доказательство

Раскроем скобки – воспользуемся следствием из распределительного закона:

Таким образом,

Раскроем скобки: если перед скобками стоит знак «минус», то все слагаемые в скобках меняют свой знак:

Приведем подобные слагаемые:

 – всегда делится нацело на .

Иногда раскрывать скобки быстрее, если использовать заготовки – формулы сокращенного умножения (ФСУ):

Решим несколько примеров, используя ФСУ.

 

Пример 8.

Упростить выражение:

1.        

Воспользуемся следующей ФСУ:

 

2.                 

Воспользуемся следующей ФСУ:

 

3.                 

Воспользуемся несколько раз следующей ФСУ:

 

4.                 

Воспользуемся следующей ФСУ:

Теперь воспользуемся этой формулой:

Раскрывать скобки нам помогает распределительный закон. Эта процедура может быть долгой, но есть четкий алгоритм, который позволяет нам раскрыть любые скобки.

Но иногда возникает необходимость представить многочлен в виде произведения скобок – разложить на множители. Это можно сделать не всегда, и универсального алгоритма нет.

Но если многочлен можно разложить на множители, то для этого можно использовать распределительный закон справа налево:

Такая операция называется вынесением общего множителя за скобки. Чтобы ее выполнить, иногда нужно переставить одночлены (выполнить группировку) или воспользоваться уже готовыми формулами сокращенного умножения (справа налево).

Потренируемся раскладывать многочлены на множители.

 

Пример 9

Разложить на множители:

1.        

Вынесем общий множитель  за скобки:

 

2.        

Вынесем общий множитель  в первых двух слагаемых и общий множитель  в оставшихся слагаемых:

Вынесем общий множитель  за скобки:

 

3.                 

Разложим  как :

Вынесем общий множитель  в первых двух слагаемых и общий множитель  в оставшихся слагаемых:

Вынесем общий множитель  за скобки:

 

4.                 

Представим  как :

Воспользуемся следующей ФСУ:

Заметим, что в скобках можно использовать следующие формулы:

 

5.                 

Первый способ упрощения выражения – раскрыть скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Представим  как :

Вынесем общий множитель  в первых двух слагаемых и общий множитель  в оставшихся слагаемых:

Вынесем общий множитель  за скобки:

Второй способ упрощения выражения – вынесем общий множитель  за скобки в первых двух слагаемых:

Воспользуемся следующей ФСУ:

Вынесем общий множитель  за скобки:

Раскроем скобки внутри скобок и приведем подобные слагаемые:

6.                 

Воспользуемся следующей ФСУ и вынесем общий множитель  в последних трех слагаемых:

Вынесем общий множитель  за скобки:

Иногда разложить многочлен на множители нельзя, но можно выделить часть многочлена, которая на множители раскладывается. Этот прием называют выделением полного квадрата. Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 10

Оценить значение выражений:

1.        

Выделим полный квадрат:

, т. к. квадрат выражения неотрицателен.

 

2.        

Выделим полный квадрат:

, т. к. квадрат выражения неотрицателен.

 

Заключение

На этом уроке мы потренировались решать различные примеры, содержащие степени, одночлены и многочлены. На этом мы завершаем изучение курса алгебры в 7 классе. В дальнейшем мы научимся использовать полученные знания о работе с многочленами для решения математических моделей различных задач – уравнений, их систем, а также неравенств.

 

Список литературы

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, «Просвещение», 2017.

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2013.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Найти значение выражения:

2. Привести одночлен к стандартному виду и вычислить значение при :

3. Представить в виде произведения: