Классы
Предметы

Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод - метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Тема: Разложение многочленов на множители

Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов

1. Напоминание ранее изученных методов разложения многочлена на множители

Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:

-Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:

;

Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.

Итак, вынесем общий множитель за скобки:

;

Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.

-Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:

;

Сгруппируем  первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:

;

Вынесем общие множители в группах:

;

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

;

- Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:

;

Распишем выражение подробно:

;

Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:

;

2. Описание метода выделения полного квадрата

Сегодня мы выучим еще один способ – метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:

 – формула квадрата суммы(разности);

3. Решение примера

Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:

;

Распишем выражение:

;

Итак, первое выражение это , а второе .

Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:

;

Свернем полный квадрат суммы:

;

Преобразуем полученное выражение:

;

Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:

;

Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.

Перейдем к решению примеров.

Пример 1 – разложить на множители:

;

Найдем выражения, которые стоят в квадрате:

;

Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:

;

Прибавим и отнимем удвоенное произведение:

;

Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::

;

Распишем по формуле разности квадратов:

;

4. Решение уравнений

Пример 2 – решить уравнение:

;

В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :

;

У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

;

Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:

;

Применим формулу разности квадратов:

;

Итак, имеем уравнение

Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:

 или

Решим первое уравнение:

, ;

Решим второе уравнение:

, ;

Ответ:  или

Пример 3:

;

Поступаем аналогично предыдущему примеру – выделяем квадрат разности:

;

Применяем формулу разности квадратов:

;

Получили уравнение

Значит  или ,  или ;

5. Выводы по уроку

Вывод: мы рассмотрели новый метод разложения многочлена на множители – метод выделения полного квадрата, он базируется на знании и формул сокращенного умножения. Мы выполнили несколько различных примеров на закрепление техники применения данного метода.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. ЕГЭ по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1: Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 382, ст.135;

Задание 2 – выделить полный квадрат: а) ; б) ; в) ; г)

Задание 3 – решить уравнение: а) ; б) ; в)