Классы
Предметы

Разложение многочленов на множители в комбинации с формулами сокращённого умножения

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Разложение многочленов на множители в комбинации с формулами сокращённого умножения

На данном уроке мы научимся раскладывать многочлен на множители с применением всех ранее изученных методов. Мы научимся решать задачи с различными комбинациями формул сокращенного умножения и методов разложения.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Вводная информация

На предыдущих уроках мы изучили два способа разложения многочлена на множители – способ вынесения общего множителя и способ группировки. Кроме того, мы изучили формулы сокращенного умножения и говорили, что их также можно использовать для разложения многочлена на множители.

Теперь для начала рассмотрим простейшие способы комбинирования вышеуказанных методов разложения.

Пример 1:

;

Теперь усложним выражение, умножив заданный многочлен на три:

;

Данная формула очень похожа на полный квадрат, но в таком виде свернуть ее мы не можем, но мы видим, что у всех членов есть общий множитель и можем вынести его за скобку. Получаем:

;

Итак, первая комбинация это формулы сокращенного умножения плюс вынесение общего множителя за скобки.

Примеры на комбинацию вынесения общего множителя и формулы квадрата разности

Пример 2:

;

Определим, что можно вынести за скобки. Для этого для начала найдем НОД:

;

Вынесем найденный общий множитель:

;

Определим, какие буквенные множители можно вынести. Обе переменные a и b есть во всех членах многочлена, значит, их можно выносить. Осталось определить только, в какой степени. Для этого найдем минимальную степень каждой из переменных. Это  и . Вынесем найденную буквенную часть:

;

Распишем полученную скобку более подробно, для этого определим, квадратами каких выражений являются первое и третье выражение, а затем проверим удвоенное произведение:

;

Очевидно, что в скобке стоит полный квадрат разности, так как мы помним его формулу: . Свернем его:

;

Комбинирование способа группировки и формулы разности квадратов

Пример 3:

;

Сгруппируем первый, третий и четвертый член, получим:

;

В скобках мы видим квадрат суммы. Свернем его:

;

Теперь мы видим разность квадратов. Вспомним формулу: . На основании этой формулы распишем наше выражение:

;

Итак, мы рассмотрели комбинацию способа группировки и формул сокращенного умножения.

Пример 4:

Поступаем аналогично предыдущему примеру: сначала группируем члены по схеме «3+1», после этого применяем формулы сокращенного умножения:

;

Комбинация вынесения множителя и формулы суммы кубов

Пример 5:

Очевидно, что нужно вынести  за скобки:

В скобках мы получили формулу суммы кубов. Распишем ее:

В данном примере мы применили комбинацию вынесения общего множителя за скобки и формулы куба суммы.

Решение объемных примеров на комбинацию многих способов

Пример 6:

;

Распишем разность квадратов:

;

Пример 7:

;

Вынесем общий множитель за скобки:

;

Во второй скобке мы видим квадрат разности, можем свернуть его:

;

Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели простейшие комбинации способов разложения многочлена на множители и формул сокращенного умножения и решили много различных примеров на разные варианты этих комбинаций.

 

Список рекомендованной литературы

1) Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2) Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3) Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1. Школьный помощник (Источник).

2. Математика для чайников (Источник).

3. ЕГЭ по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание:

Задание 1: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7, № 890, ст.224;

Задание 2: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7, № 897, ст.225

Задание 3: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7, №899, ст. 225;