Классы
Предметы

Тождества

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Тождества

На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение тождества, сформулируем его отличия от уравнения. Кроме того, мы научимся определять допустимые значения переменных. Мы решим много различных примеров, связанных с тождествами и тождественными преобразованиями.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Тема: Разложение многочленов на множители

Урок: Тождества

1. Формулировка понятия тождества

Рассмотрим примеры.

Пример 1:

;

Данное уравнение мы решали методом выделения полного квадрата и получили корни  или

Пример 2:

;

Данное уравнение мы также решали методом выделения полного квадрата и получили ответ  или .

Это означает, что в случае примера 1 только при  или  уравнение превращалось в верное числовое равенство, для второго примера только при  или  уравнение превращалось в верное числовое равенство.

 Повторим ход решения примера 1. После преобразований мы получили уравнение , из которого явно видно, что  и  являются решениями данного уравнения.

Уравнение из примера 2 раскладывалось так:  и отсюда тоже явно следует ответ.

Для нас важно то, что приведенные выше выражения справедливы каждое только для своей пары значений переменной и эти значения имеют название корни уравнения.

 Но существуют такие выражения, которые справедливы при любых значениях переменных, которые в них входят. Рассмотрим примеры:

Пример 3:

;

Подставив в выражение любые значения , мы получим верное числовое равенство.

Пример 4:

;

Формула квадрата разности утверждает, что данное выражение справедливо при любых значениях

Выражения из примеров 3 и 4 мы будем называть тождествами. Подобных примеров можно привести очень много:

Пример 5:

;

Данное выражение также справедливо при любых значениях переменных

В этом и заключается принципиальное отличие уравнения от тождества. Тождество – это такое равенство, которое верно при любых значениях переменных, которые в него входят, уравнение же справедливо только при некоторых значениях переменных.

Уточним, что значит любые значения переменных. Рассмотрим элементарное равенство:

;

какое бы значение  не принимал, равенство будет справедливым.

Разделим обе стороны на

Данное выражение будет справедливо при любых , кроме , потому что в знаменателе обеих дробей стоит двучлен , и эти дроби определены, то есть их можно вычислить, только если знаменатель не равен нулю:  , то есть .

Пример 6:

Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо во всех случаях кроме тех, когда знаменатель равен нулю. То есть, оно справедливо при всех , кроме , так как в этом случае дробь не имеет смысла.

2. Решение простых примеров

Итак, появились значения переменных, при которых даже само выражение не имеет смысла, в связи с этим скорректируем определение тождества: тождество это выражение, обращающееся в верное равенство при всех допустимых значениях переменных, которые в него входят.

Рассмотрим задачи.

Пример 7 – доказать тождество:

;

Мы уже встречались с подобными примерами, говорили, что .

Теперь докажем, что выражение под квадратом можно умножить на минус единицу и получится верное равенство. Для этого в заданном выражении раскроем скобки:

;

Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, таким образом, тождество доказано.

Но его можно доказать и другим способом:

;

Пример 8:

;

Преобразуем левую часть:

;

После преобразований получаем:

;

Тождество доказано.

Заметим, что тождественные преобразования – это те преобразования, при которых одно выражение заменяется другим, тождественно ему равным.

Пример 9:

;

Есть два способа решения данной задачи. Первый – это напрямую в левой части раскрыть квадрат, выполнить умножение одночлена на двучлен, привести подобные члены и посмотреть, окажется ли выражение тождеством или нет.

Второй способ – преобразовать левую часть при помощи метода вынесения общего множителя:

;

Теперь мы видим, что левая часть – это разность квадратов. Преобразует ее:

;

Получаем выражение:

;

Тождество доказано.

Пример 10 – доказать, что если , , , то выражения   и  тождественно равны при любых значениях  :

Рассмотри два заданных выражения. В первом  стоят с плюсом, а  с минусом, во втором наоборот  стоит с плюсом, а  стоят с минусом, значит первое выражение равно второму, взятому с противоположным знаком. То есть имеем некоторое выражение :

, , ,

подставим значения A, B и С в заданное выражение:

;

Упростим выражение:

;

Приведем подобные члены:

;

;

Тождество доказано.

3. Решение примеров с определением допустимых значений переменных

Пример 11 – установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:

Начнем с определения допустимых значений :

, ,  и ;

Получили, что все значения , кроме  и  являются допустимыми, так как в этих двух точках знаменатель обращается в ноль и дробь не имеет смысла.

Теперь нужно упростить выражение в левой части. Это алгебраическая дробь и мы знаем, что нужно разложить на множители входящие в нее многочлены и сократить. В числителе применим формулу разности квадратов, а знаменатель оставим:

Получаем:

;

Данное выражение является тождеством при всех значениях , кроме  и .

Пример 12 - установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то укажите допустимые значения переменных:

Левая часть является алгебраической дробью, многочлены в числителе и знаменателе нужно разложить на множители:

Мы видим в числителе и знаменателе одинаковые выражения, которые можно сократить, но обязательно при этом нужно указывать допустимые значения:

Получаем:

Выражение является тождеством для всех значений, кроме:

4. Доказательство более сложных тождеств

Пример 13 – доказать тождество:

 Пример 14 – доказать тождество:

Сначала упростим дробь:

Приведем подобные в левой части:

Свернем полный квадрат по формуле:

5. Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы ознакомились с понятием тождества, дали его определение, научились определять допустимые значения переменных. Мы решили много примеров различной сложности и научились доказывать тождества, преобразуя только одну часть выражения или сразу обе.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1. Школьный помощник (Источник).

2. Задачи и тесты по геометрии, алгебре, физике и математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание:

  • Доказать тождество:

а) ; б) ;

в) ; г)  

  • Доказать тождество:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

  • Доказать тождество и указать допустимые значения переменных:

а) ; б)