Классы
Предметы

Числовые и алгебраические выражения (Г. Г. Гаицгори)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Числовые и алгебраические выражения (Г. Г. Гаицгори)

Мы начинаем изучение алгебры. Если раньше мы работали преимущественно с числами (выполняли различные арифметические операции с ними, решали различные задачи), то теперь мы будем учиться работать с более абстрактными объектами – переменными. Преимущество этих объектов в том, что, решив в общем виде задачу один раз, можно находить ответ для всех задач такого типа, подставляя вместо переменных конкретные числовые значения.

На этом уроке мы вспомним, что такое числовое выражение, а также дадим определение алгебраическому выражению. Кроме того, научимся находить значение алгебраического выражения для данных числовых значений переменных.

Пример алгебраического выражения (площадь квадрата)

Рассмотрим следующие примеры.

Пример . Чему равна площадь квадрата со стороной ? (Рис. 1)

Рис. . Иллюстрация к примеру

Решение. Очевидно, что площадь квадрата со стороной  равна: .

Ответ: .

Пример . Чему равна площадь квадрата со стороной ? (Рис. )

Рис. . Иллюстрация к примеру

Решение. Очевидно, что площадь квадрата со стороной  равна: .

Ответ: .

Запишем формулу для вычисления площади квадрата в общем случае при условии, что задана длина стороны квадрата. Для этого необходимо длину стороны умножить на саму себя. Записать это можно так: , где  – сторона квадрата.

Пример алгебраического выражения (формула для многократного вычисления)

Рассмотрим пример, когда нужно посчитать, сколько машин понадобится для перевозки груза, если известно количество мешков, которые нужно перевезти, масса каждого мешка и грузоподъемность одной машины.

 

Пример . Пусть имеется  мешков, масса каждого  килограммов, а грузоподъемность машины –  кг. Сколько машин понадобится для перевозки всех мешков? (Рис. )

Рис. . Иллюстрация к примеру

Решение. Для нахождения количества машин, необходимых для перевозки всех мешков, умножим количество мешков на массу одного мешка и разделим на грузоподъемность одной машины: .

Ответ:  машины.

В условии задачи количество мешков может быть другим, например: . Тогда каждый раз нужно будет заново решать задачу и выполнять одни и те же действия. Чтобы этого избежать, можно один раз составить формулу, по которой всегда можно будет производить вычисления.

Количество машин должно быть не меньше, чем  (Рис. ).

Рис. . Иллюстрация выведения формулы для многократного вычисления

 

Теперь по этой формуле любой сможет произвести расчеты, не задумываясь, как она была получена, а просто подставляя значения. Кроме того, можно запрограммировать компьютер, тогда можно подставлять конкретные данные, а вычисления будет производить он.

Составленное выше выражение можно записать короче, например, так: , где  – количество мешков,  – масса каждого мешка,  – грузоподъемность одной машины.

Пример алгебраического выражения (переместительный закон)

Переместительный закон сложения звучит так: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Например,  или .

Слагаемые могут быть любыми числами. Т.е. формулировку закона можно переписать так: , где  – любые числа. Эта запись несет ту же информацию, только в более компактной форме.

Числовые выражения

Как видно, в некоторых случаях удобнее заменять числа буквами, которые ещё называют переменными (их значения можно «переменять»).

Пример . Необходимо посчитать количество цветов в двух комнатах. В одной комнате их , а во второй –  (Рис. 5).

Рис. . Иллюстрация к примеру

Решение. Очевидно, для нахождения общего количества цветов достаточно сложить следующие числа: .

Ответ: .

В примере  запись  является числовым выражением.

Определение: числовое выражение – это запись, составленная только с помощью чисел, знаков действий и скобок, при этом запись должна быть составлена со смыслом.

 

Что значит «составлена со смыслом»? В языке есть фразы, которые понятны другим людям (предложения). Так и в математике: если понятно, что делать c выражением, как вычислить его значение, то запись составлена со смыслом.

Например, запись  состоит из чисел, знаков действий и скобок, однако его значение нельзя вычислить (как числовое выражение оно не имеет смысла), поэтому оно не является числовым выражением.

Запись  является числовым выражением, т.к. его значение можно вычислить.

Алгебраические выражения

В условии задачи могут быть не цветы, а  машин и  машины , пять восьмых  и три восьмых  . И это не повлияет на результат.

Можно записать так:  ( чего-то и  чего-то равно  чего-то), где вместо  может быть любой предмет (цветы, машины, книги, ящики и т.д.).

В математике обычно в таких случаях используют буквы , например, . Заменяя объекты буквами, можно работать не с самими объектами, а с математическими выражениями. Т.е. после выполнения действий с некоторой абстрактной переменной  полученный результат будет верен для любых объектов (цветов, машин, деталей и т.д.). Тогда выражение  называется алгебраическим выражением.

Определение: алгебраическое выражение – это всякая составленная со смыслом запись, которая может содержать только числа, буквы, знаки действия и скобки. Из определения следует, что любое числовое выражение одновременно является и алгебраическим.

Примеры алгебраических выражений:  .

 

Задание  (алгебраические выражения)

Выберите алгебраические выражения:

Решение.

 является алгебраическим выражением (вместо  можно подставить какое-нибудь число и вычислить значение выражения).

 не является алгебраическим выражением, т.к. содержит знак равно .

 не является алгебраическим выражением, т.к. содержит знак равно .

 не является алгебраическим выражением, т.к. нельзя вычислить его значение (не имеет смысла).

 является алгебраическим выражением (вместо  можно подставить какие-нибудь числа и вычислить значение выражения).

 является и алгебраическим выражением, и числовым (его значение можно вычислить ).

Ответ: .

Как найти значение алгебраического выражения

Чему равно значение выражения , если ? Подставим вместо  число  и посчитаем: .

Так можно поступить с любым алгебраическим выражением – найти его значение при заданных значениях переменных.

 

Пример . Найти значение выражения , если .

Решение. Подставим значения переменных  в выражение: .

Ответ: .

 

Пример . Найти значение выражения , если .

Решение. Подставим значения переменных  в выражение: .

Ответ: .

 

Задание . Запишите формулу целых чисел, которые при делении на  дают остаток . Найдите количество таких чисел в пределах от  до .

Решение.

Пусть  – некоторое число. Если  делится на , то в его разложении на множители  было бы одним из них, т.е. . Т.к. число должно иметь остаток  при делении на , то тогда его можно записать так: .

Первое такое число, большее , – это  (при ), а последнее число – это  (при ). Значит, всего таких чисел: .

Ответ: .

 

Заключение

На этом уроке мы познакомились с алгебраическими и числовыми выражениями, научились вычислять значение алгебраических выражений. На следующем уроке мы узнаем, как работать с алгебраическими выражениями.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, «Просвещение», 2017.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2014.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «scienceland.info» (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Найдите значения следующих числовых выражений: ;
  2. Найдите значение алгебраического выражения , если .
  3. Найдите  от числа .