Классы
Предметы

Числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах

Числовые и алгебраические выражения играют значительную роль в математическом языке при составлении математических моделей. Поэтому на этом уроке мы вспомним и выясним, каковы взаимоотношения между числовыми и алгебраическими моделями. Кроме того, разберем две основные типовые задачи и решим примеры по этой теме. 

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Введение

Вспомним, что если в арифметическом выражении одно или несколько чисел заменить буквенными переменными, то мы получим алгебраическое выражение.

Арифметическое выражение, алгебраическое выражение – это элементы математического языка. Они используются в математических моделях, и с ними связаны некоторые типовые задачи. Наиболее распространенные из них – это вычислительные задачи.

Вычислительные задачи

Суть вычислительной задачи: в буквенном выражении (в алгебраическом выражении) отдельным буквам или всем буквам дают определенные значения; в результате получаем арифметическое выражение, которое нужно вычислить.

Пример 1

Дано выражение:

;

;

Найти значение данного числового выражения.

Решение

Подставим вместо  и  их выражения соответственно.

Ответ: 1.

Пример 2

Дано выражение:

;

;

Вычислить значение алгебраического выражения при заданных значениях  и .

Решение

Подставим значения  и :

Ответ: .

Задачи на допустимое или недопустимое значение буквенных переменных

Следующая группа задач – это задачи на допустимое или недопустимое значение буквенных переменных. Ведь алгебраическое выражение может иметь в знаменателе разность, сумму и т. д.

И эта разность, сумма или что бы то ни было в знаменателе не должно быть равно нулю.

Пример 1

Найти множество значений буквенных переменных, при которых данное алгебраическое выражение имеет смысл (может быть вычислено).

Решение

Знаменатель этой дроби не должен быть равен нулю. Значит:

Значит, данная дробь существует, имеет смысл при всех значениях  и при всех значениях , кроме .

Ответ:.

Пример 2

Имеем дробь:

При каких значениях  дробь имеет смысл?

Решение

Знаменатель не должен быть равен нулю, значит:

Ответ:.

 

В следующем примере – две буквенные переменные.

Пример 3

При каких значениях буквенных переменных данное выражение имеет смысл?

Решение

Ответ:.

Задачи на недопустимые значения переменных

Формулировка следующей стандартной группы задач: укажите хотя бы одну пару значений буквенных переменных, при которых выражение не имеет смысла.

Пример 1

Решение

Выражение не будет иметь смысла тогда, когда будет выполнено условие:  (в знаменателе дроби будет стоять 0).

Если присвоить переменным значение 1, то:

При этих значениях дробь не имеет смысла.

Ответ:, .

Пример 2

Укажите хотя бы одну пару значений буквенных переменных, при которых выражение не имеет смысла.

Решение

Определим, при каком условии знаменатель дроби будет обращаться в 0.

Тогда если, например, , то знаменатель равен нулю и дробь не имеет смысла.

Ответ:, .

Пример 3

Укажите хотя бы одну пару значений буквенных переменных, при которых выражение не имеет смысла.

Решение

Аналогично

При этих значениях выражение не имеет смысла.

Ответ:, .

Перевод с русского языка на математический и наоборот

С числовыми и алгебраическими выражениями связаны две важные задачи, а именно: перевод с русского языка на математический и перевод с математического языка на русский.

Пример 1

Переведем.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Этот пример описывает «переместительный закон сложения», он справедлив для любых чисел  и .

Пример 2

Произведение не изменится от перемены мест сомножителей.

Задача 1

Произнести на русском языке «основное свойство дроби» и перевести его на математический.

Решение

Есть дробь . Дробь не изменится, если и числитель, и знаменатель умножить и разделить на одно и то же число .


при ,

Задача 2

Произнести на русском языке «правило деления дробей» и перевести его на математический.

При делении двух дробей друг на друга нужно получить новую дробь, в числителе которой записать произведение числителя первой дроби и знаменателя второй, а в знаменателе новой дроби записать произведение знаменателя первой дроби и числителя второй. Еще говорят так: чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь.

Задача 3

Дано выражение:

Перевести на русский язык.

Решение

Отношение разности кубов двух чисел  и  к их утроенной сумме.

Текстовые задачи

Рассмотрим простейшую типовую задачу

Задача 1

Задумали число к нему прибавили семь, сумму утроили, из результата вычли 47 и получили задуманное число. Найдите его.

Решение

Переводим на математический язык

1. Начнем с составления математической модели.

Пусть  – это задуманное число.

 – это и есть математическая модель.

2. Второй этап – работа с математической моделью. В данном случае это просто решение уравнения.

3. Третий этап – ответ на поставленный вопрос.

Было задумано число 13.

Ответ: 13.

 

А теперь шуточная задача, математический фокус.

Задача 2

Задумайте число. Никому не говорите, какое число вы задумали. Прибавьте к нему 10 и отнимите половину задуманного, к результату прибавьте 7, отнимите половину задуманного, далее отнимите 2. В результате всех действий будет число 15. Откуда это известно?

Решение

Пусть задуманное число – .

Почему же так? Потому что мы от начального  два раза отняли по половине, т. е.

Такой вот простой математический фокус.

Итоги урока

Итак, мы подтвердили, что арифметические и алгебраические выражения широко используются в математических моделях и задачах, являются важными элементами, средствами математического языка. Эти средства должны постоянно расширяться и пополняться.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд-е. – М.: Просвещение, 2010.

4. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЕГЭ? Сдам!» (Источник)

2. Интернет-сайт «Науколандия» (Источник)

3. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Найдите все допустимые значения переменных в выражениях:

1) 

2) 

3) 

2. Иван задумал число. Сначала он прибавил к нему 3, затем полученную сумму уменьшил вдвое и от результата отнял 11. Какое число задумал Иван, если в итоге он получил число 5?

3. Запишите на математическом языке:

1) Произведение суммы чисел  и  на их разность.

2) Отношение суммы кубов чисел  и  к их удвоенной разности.

3) Утроенный куб суммы чисел  и .