Классы
Предметы

Действия с числовыми и алгебраическими выражениями (Г.Г. Гаицгори)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Действия с числовыми и алгебраическими выражениями (Г.Г. Гаицгори)

На этом уроке мы вспомним, что такое алгебраическое выражение, как найти его значение при заданных значениях переменных. Выясним, какие значения переменных могут быть недопустимыми для данного выражения. А также научимся выполнять различные действия с числовыми и алгебраическими выражениями.

Повторение (алгебраическое выражение)

Определение: алгебраическое выражение – это любая составленная со смыслом запись, которая может содержать только числа, буквы, знаки действия и скобки. Например, .

Можно вычислить значение алгебраического выражения при заданных значениях переменных, для этого достаточно подставить значение в выражение и выполнить вычисления. Например, при  значение выражения : .

Задача на вычисление значения алгебраического выражения при заданном значении переменной

Задача . Найдите значение выражения  при .

Решение. Подставим значение  в выражение и выполним вычисления:

Ответ: .

В задаче  получилось деление на . Можно попробовать поделить  на , например, на калькуляторе. Убедитесь сами, что калькулятор не смог найти значение этого выражения. Не получится и у нас. Деление на  не имеет смысла, не определено.

 


 

Почему деление на ноль не определено?

 был введен как часть большого механизма под названием целые числа для обозначения отсутствия чего-то.  облегчает счет и запись чисел, но нулевого количества нет, на него не укажешь пальцем, поэтому сказать, сколько  содержится в другом числе нельзя.

Разделить  на  означает сказать, сколько раз в  ничего нет. Ответить на вопрос, сколько в гараже квадратных метров можно, но ответить, сколько в нем пустоты, – нет.

Если бы был придуман какой-то смысл для выражения , то это противоречило бы некоторым известным свойствам и определениям, например свойствам умножения, поэтому деление на  не определяют.

Можно все же попробовать разделить  на . Деление – это действие, обратное умножению, т.е., если .

Но при умножении на  всегда получается , т.е. такого  просто не существует.

 

Рассмотрим случай деления  на , чтобы не возникало ощущения, что он – особый и отличается от деления  на .

Равенство будет справедливым для любого , потому что  Но результат деления должен быть конкретным числом. Снова получаем противоречие.

Поэтому деление на  в математике не определено.


 

Недопустимые значения переменных

Подставить в алгебраическое выражение можно любое число, но не всегда получится посчитать его значение.

 

Определение: такие значения переменной, при которых выражение не определено (нельзя вычислить его значение), называют недопустимыми значениями.

 

На данный момент мы знакомы только с одним таким случаем. Например, если в выражении есть дробь  или деление , то мы не будем подставлять в выражение такие значения переменной, при которых знаменатель обращается в : .

Есть и другие случаи появления недопустимых значений переменных, но о них мы узнаем позже, по мере изучения различных функций.

 

Рассмотрим примеры на определение недопустимых значений переменных в выражениях.

Пример . Определить недопустимые значения переменной  в выражении .

Решение. Выражение  представляет собой дробь, поэтому её знаменатель  не может обращаться в : .

Таким образом, недопустимым значением переменной  является , т.е. выражение определено для любых .

Ответ: .

 

Пример . Определить недопустимые значения переменной  в выражении .

Решение. Выражение  представляет собой дробь, поэтому её знаменатель  не может обращаться в : .

Таким образом, недопустимым значением переменной  является , т.е. выражение определено для любых .

Ответ: .

 


Где еще можно встретить деление на ноль?

Докажем, что . Введем переменные , пусть .

Запишем:

Получим равенство:

Перегруппируем слагаемые и получим:

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из частей равенства:

Разделим обе части равенства на  и получим:

Получили, что . В чём подвох? Дело в том, что в наше «доказательство» вкралась ошибка: было выполнено деление на  при делении обеих частей равенства на выражение  (по предположению эти числа равны: ).

 

Это пример математического софизма – утверждения с доказательством, в котором кроются ошибки. Софизмы бывают не только математическими, например, фраза «Ты не терял то, что у тебя есть. Ты не терял рога и хвост. Значит, у тебя есть рога и хвост» содержит логическую ошибку: из первой фразы не следует, что у тебя есть всё, что ты не терял.

Наиболее известными софизмами являются апории Зенона. Подробнее узнать о них вы можете по этой ссылке.


 

Действия с числовыми выражениями

Мы уже сталкивались с эквивалентными выражениями, когда приводили дроби к общему знаменателю. Мы записывали цепочки эквивалентных дробей и выбирали из них те, у которых одинаковый знаменатель:

 и  

Например, в данном случае это будут дроби: .

Эквивалентные выражения можно заменять друг другом, от этого смысл и значение записи не изменится.

Например, пусть есть выражение . Можно выполнить умножение и получить выражение . Оба эти числовых выражения равны, эквивалентны.

Если же выполнить все действия в каком-то числовом выражении, то получится его значение: , т.е.  – значение числового выражения . Выполнив все действия, мы упростили числовое выражение.

Действия с алгебраическими выражениями

Алгебраические выражения могут быть записаны по-разному, но означать одно и то же, например:  и .

Можно ли сказать, что выражение упрощено? Обычно под упрощением подразумевают эквивалентную запись в таком виде, чтобы для вычисления значения выражения нужно было выполнить как можно меньше действий.

 

Например, чтобы вычислить значение выражения  при заданном значении переменной необходимо выполнить  действия, а для выражения  – одно действие. Конечно, разница в  действия невелика, но, если бы такую операцию нужно было бы проделать  раз, тогда разница была бы уже в целых  действий.

 

Задача. Докажите, что выражение  эквивалентно выражению .

Доказательство

Дважды воспользуемся распределительным законом :

Задача. Упростите выражение: .

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов :

Ответ: .

 

Сравним количество действий, которое необходимо сделать, чтобы вычислить первое выражение и второе. В первом случае нужно было выполнить  действий, а во втором – только . В таких случаях говорят, что мы упростили алгебраическое выражение.

 


Недопустимые значение переменных

Найдем недопустимые значения переменных для выражения: .

Знаменатель дроби содержит переменные, определим, когда он обратится в :

Т.е. недопустимыми значениями переменных будут противоположные значения. Например, если , то .

 


 Эквивалетность выражений

Выражения  и  не являются эквивалентными для любых  и , т.к. первое выражение не определено, когда , а второе выражение определено при любых значениях переменных  и .

Т.е. эти выражения будут эквивалентными только для таких  и , которые не являются противоположными числами.


 

Примеры упрощения алгебраических выражений

Задача. Упростите выражение: .

Решение. Воспользуемся распределительным законом, чтобы раскрыть обе скобки:

Ответ: .

 

Задача. Упростите выражение: .

Решение: воспользуемся распределительным законом, чтобы раскрыть внутренние скобки, затем упростим полученное в скобках выражение и снова применим распределительный закон:

Ответ: .

 


Всегда ли лучше упрощать выражение

Задача. Найдите значение выражения , если , .

Решение

Вычисление с упрощением выражения (воспользуемся формулой разности квадратов, которая была записана ранее):

Вычисление без упрощения выражения:

Ответ: .

В данном случае оказалось, что считать быстрее, если выражение не упрощать.

Таким образом, упрощать или не упрощать выражение, нужно решать в зависимости от условия и удобства решения конкретной задачи.


 

Задача . Пусть  и  – некоторые натуральные числа. Докажите, что разность чисел  и  делится на .

Доказательство

Рассмотрим разность чисел: .

Упростим выражение – раскроем скобки (помним, что минус перед скобками относится к обоим слагаемым в скобках):

 делится на , значит, и эквивалентное ему исходное выражение делится на .

Доказано

 

Заключение

На этом уроке мы вспомнили, как работать с числовыми выражениями, и научились работать с алгебраическими выражениями. Мы научились находить допустимые и недопустимые значения переменных для выражений, содержащих дроби или деление, а также обсудили, что значит упростить алгебраическое выражение.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, «Просвещение», 2017.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2014.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. «Просвещение», 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «edufuture.biz» (Источник)
  3. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Найдите значение выражения  при .
  2. Упростите выражение: .
  3. Раскройте скобки и докажите, что .