Классы
Предметы

Линейное уравнение с одной переменной (Г.И. Вольфсон)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Линейное уравнение с одной переменной (Г.И. Вольфсон)

Решение различных текстовых задач часто сводится к решению уравнения с введенной нами переменной. На этом уроке мы познакомимся с определением одного типа таких уравнений, линейными, и методами решения уравнений этого типа. Также рассмотрим несколько примеров с решениями.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Задача 1

В каждом автобусе можно разместить 30 школьников. Сколько автобусов потребуется, чтобы перевезти 930 школьников (см. Рис. 1)?

Решение

 

 

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решим данную задачу с помощью уравнения. Пусть  – это искомое число автобусов. В каждый автобус помещается 30 учеников, следовательно, общее количество учеников, которые проедут в искомом числе автобусов, будет равно . Однако общее количество учеников нам известно – 930, поэтому получили уравнение:

 

Найдём , решив данное уравнение:

 

 

Ответ: 31 автобус.

 

Линейное уравнение с одной переменной. Определение

В задаче 1 мы составили уравнение, которое называется линейным уравнением.

Уравнение вида , где  – переменная,  и  – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Число  обычно называют коэффициентом, а число  – свободным членом. Они могут быть положительными и отрицательными, целыми и нецелыми, и даже нулями. Например:

 

 

 

 

 

 

Решение линейного уравнения с одной переменной

Рассмотрим 2 случая:

1. Коэффициент  не равен 0 ()

В этом случае обе части линейного уравнения можно разделить на a:

 

При этом  будет равен:

 

2. Коэффициент  равен 0 ()

В этом случае линейное уравнение принимает вид . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на ноль следует, что, какое бы число мы ни взяли в качестве , при его подстановке в уравнение  получится числовое равенство . Это равенство верное, когда , а в остальных случаях при  это равенство неверное.

Следовательно, при  и любое число является корнем линейного уравнения, так как при этих условиях подстановка вместо  любого числа дает верное числовое равенство . А при  и  линейное уравнение  не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо  любого числа приводит к неверному числовому равенству  (см. Рис. 2).

 

 

Рис. 2. Решение линейного уравнения с одной переменной

Задача 2

Решите уравнения:

1.  

Коэффициент  в данном уравнении не равен 0, поэтому корень данного уравнения будет равен:

 

 

2.  

Коэффициент  в данном уравнении равен 0, а свободный член  не равен нулю, следовательно, у этого уравнения решений нет.

3. 

 можно представить, как . Поэтому  будет равен:

 

 

4.

Коэффициент  и свободный член  в данном уравнении равны 0, поэтому  – это любое число.

5.

 

 

Задача 3

Решите уравнения:

1.

 

Для удобства выполнения деления переведем  и  в неправильную дробь.

 

 

 

 

2.  

  

 представим в виде обыкновенной дроби.

 

 

 

Задача 4

При каких значениях  выражение  равно 0,1?

Решение

Формулировка данной задачи означает, что нам необходимо найти  из уравнения .

 

 

 

 

 

Ответ: .

Задача 5

Составьте линейное уравнение, которое имеет корень (-3).

Решение

Общий вид линейного уравнения – это . По условию , потому необходимо найти такие  и , чтобы . Для этого выбираем любое число , например 2:

 

Число  выбираем такое, чтобы равенство  было верным.

 

 

Ответ: .

Итоги урока

На этом уроке мы познакомились с понятием линейного уравнения с одной переменной, узнали, как называются составные части таких уравнений. Также мы узнали, сколько решений имеет линейное уравнение с одной переменной, и рассмотрели несколько примеров с решениями.


 

Эквивалентные преобразования уравнений

С уравнениями можно производить следующие эквивалентные преобразования.

1. К обеим частям равенства можно прибавлять или вычитать одно и то же число. Например, к каждой части уравнения  можно прибавить 3, равенство при этом не изменится.

 

 

 

2. Каждую часть уравнения можно домножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю). Например, каждую часть уравнения  можно домножить на , равенство при этом сохранится.

 

 

 


 

Более сложные примеры

Задача 6

При каких значениях  уравнение  имеет корень ?

Решение

При подстановке  в уравнение  должно получиться верное равенство:

 

После подстановки  в уравнение  мы получили новое линейное уравнение с переменной  и коэффициентом равным 0,02. Решим это уравнение.

 

 

 

 

 

Ответ: .

Задача 7

При каких значениях  уравнение  имеет: 1. 0 корней; 2. 1 корень; 3. бесконечно много корней?

Решение

Для того чтобы найти  в этом линейном уравнении, необходимо  разделить на . Однако  может быть равным 0, поэтому рассмотрим два случая.

а) Если , то:

 

 

Следовательно, при : x – это любое число, уравнение имеет бесконечно много решений.

б) Если , то:

 

Следовательно, при : уравнение будет иметь одно решение (один корень).

Ответ: 1. Не существует таких значений , при которых данное уравнение не имеет корней.

2. При  – 1 решение.

3. При  – бесконечно много решений.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г., Н.П. Николаев. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение. 2010.

4. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение. 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал "Школьный помощник" (Источник)

2. Интернет портал "Математика в школе" (Источник)

3. Видеохостинг YouTube (Источник)

 

Домашнее задание

1. Какое уравнение с одной переменной называется линейным?

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

3. Задания 4.2, 4.7, 4.9, 4.20 (стр. 23-26) – Мордкович А.Г. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (см. список рекомендованной литературы)http://slovo.ws/urok/algebra/07/003/023.html

4. Решите уравнения: 1. ; 2. ; 3.

5. При каких значениях a уравнение : а) имеет корень, равный -3; б) имеет корень, равный ; в) не имеет корней?