Классы
Предметы

Математический язык и математическая модель (Г. Г. Гаицгори)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Математический язык и математическая модель (Г. Г. Гаицгори)

Для того чтобы решить любую задачу, необходимо сделать некоторые допущения (приближения): выбрать, какие факторы мы учитываем, а какими пренебрегаем. Эта часть решения называется построением модели. Математическая модель – это условие задачи, переписанное на математическом языке (в виде уравнений, неравенств и их систем). Расчёт математической модели (решение уравнений и неравенств) – это техника, которой мы уделим много времени при дальнейшем изучении школьной математики. На этом уроке мы потренируемся выполнять первый шаг решения текстовых задач – переписывать условие на математическом языке (или, по-другому, составлять математическую модель).

Модель

Когда мы передаем какую-то информацию, мы ее упрощаем. То есть передаем не всё, а только самое важное. Причём степень подробности, т.е. выделения важного, определяется целью.

Вам звонит друг и спрашивает: «Ты где?» Если вы знаете, что он заболел и сидит дома, то ответите: «В школе» (Рис. 1).

Рис. 1. Ответ на вопрос в зависимости от ситуации

А если сейчас перемена и вы знаете, что он пошёл в столовую? Вряд ли ответ «В школе» можно назвать полезным и содержательным. Скорее всего, вы ответите: «В  кабинете» (Рис. 2).

Рис. 2. Ответ на вопрос в зависимости от ситуации

На один и тот же вопрос можно давать ответы с разной степенью точности в зависимости от ситуации или цели. В жизни для описания того или иного события или задачи не нужно учитывать все возможные факторы. Более того, все учесть невозможно. То есть всегда необходимо упростить ситуацию, выделить главное, чтобы её описать. По-другому говорят «составить модель».

Математическая модель

Мы постоянно сталкиваемся с моделями. План зрительного зала – это модель настоящего зала. Она упрощает задачу – найти место в зале (Рис. 3).

Рис. 3. План зрительного зала – модель

Ту же самую функцию выполняют карта страны или мира (Рис. 4).

Рис. 4. Карта мира – тоже модель

Когда мы идем по улице и смотрим на номера домов, то знаем, что -й дом будет после -го и -го. Мы это понимаем, потому что в голове у нас есть модель – натуральные числа и порядок, по которому они расположены (Рис. 5).

Рис. 5. Модель нумерации номеров домов

Когда мы хотим решить какую-то задачу, найти какую-нибудь величину, мы тоже упрощаем. Реальные объекты мы обозначаем числами или буквами (переменными). В таком случае говорят, что мы строим математическую модель.

Построение математической модели

Задача

В одной вазе  яблок, во второй –  (Рис. 6). Сколько всего яблок в двух вазах?

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Если вы ответили , значит, вы уже успели построить математическую модель и с её помощью решить задачу.

Ответ: .

 

Без модели эта задача решается так. В одной вазе  яблок, во второй – . Ссыпаем их в одну вазу и руками пересчитываем (Рис. 7).

Рис. 7. Решение задачи без построения математической модели

Но мы поступаем не так. Все яблоки разные (разного цвета, размера), но нас интересует только их количество. Поэтому яблоки в обеих вазах мы заменяем числами, их количеством: .

Теперь нам не надо складывать яблоки вместе, а остается сложить только числа  и получить .

 

Это и есть математическая модель, математическое упрощение реальности. Действия мы произвели с моделью, но выводы сделали относительно реальной ситуации.

Кроме того, что модель упростила решение, мы с помощью нее решили сразу много реальных задач. Например, в одном дворе  машин, во втором –  (Рис. 8). Сколько всего машин?

Рис. 8. С помощью одной математической модели решаются многие реальные задачи

В одной комнате  человек, в другой – . Сколько всего человек? Везде один и тот же ответ: .

Алгоритм решения задач при помощи математической модели

Обратите внимание: если записать количества словами – «десять» и «двенадцать», то сложить не получится. А если записать в правильном виде (т.е. в десятичной записи): , то для решения есть своя техника – сложение в столбик.

То есть цель составления математической модели – переписать задачу с русского языка на математический в таком виде, для которого есть своя техника выполнения работ.

 

На математике мы будем изучать много техник решения для различных математических конструкций. Зачем это нужно? Овладев техникой решения математической конструкции, мы можем решить любую задачу, которая сводится к этой конструкции.

 

Этот же приём мы используем в жизни: вместо того чтобы таскать кирпичи руками на -й, -й, -й этажи, мы придумали механизм – лебедку, которая облегчает нашу задачу и позволяет поднять кирпичи на любой этаж (Рис. 9).

Рис. 9. Лебедка позволяет не таскать кирпичи

Иногда может казаться, что изучаемая техника решения задач (решение уравнений, неравенств и т.д.) сама по себе бессмысленна. Если вас будет мучить эта мысль, попробуйте разобрать часы и посмотреть на детали, из которых они состоят. Каждая из них по отдельности кажется бесполезной для определения времени. А вот собранные вместе эти детали позволяют решить важную задачу – узнать время (Рис. 10).

Рис. 10. Собранные вместе детали позволяют определить время

Но этот урок мы посвятим не технике решения, а более важному этапу решения задач – составлению математической модели (т.е. переписыванию условия с русского языка на математический).

 

Чтобы решить какую-то задачу, обычно поступают так:

  1. Переходят от реальной ситуации к модели.
  2. Решают модель по некоторому алгоритму.
  3. Возвращаются от модели к реальной ситуации.

Уравнения в математических моделях

Очень часто математическая модель содержит уравнение. Уравнение – это аналог ситуации, когда объект неизвестен, но кое-что мы про него знаем.

 

Задача . В двух вазах  яблок, причем во второй на  больше, чем в первой. Сколько яблок в каждой вазе? (Рис. 11)

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Для решения этой задачи мы составляем математическую модель. От яблок мы переходим к числам. Яблоки в каждой вазе мы заменяем числом (т.е. количеством).

Т.к. нам неизвестно количество яблок в одной вазе, то мы вводим переменную . В одной вазе  яблок, во второй – на  больше, т.е. .

Таким образом,

  1.  – количество яблок в первой вазе.
  2.  – количество яблок во второй вазе.

Тогда всего яблок: .

Вот мы и построили математическую модель. Мы не думаем больше о яблоках, а только о том, как решить это уравнение:

Корень уравнения , тогда .

Мы решили модель. Теперь возвращаемся к реальной ситуации и получаем ответ:  – это количество яблок в первой вазе и  – во второй.

Ответ: .

 

Для решения этой же задачи мы могли составить другую модель.

Пусть:

  1.  – количество яблок в первой вазе.
  2.  – количество яблок во второй вазе.

Тогда у нас есть два условия: в двух вазах  яблок:  и во второй вазе яблок на  больше, чем в первой: . Причём эти условия должны выполняться одновременно.

В таких случаях говорят о системе уравнений и записывают следующим образом:

Фигурная скобка означает, что оба условия должны выполняться одновременно.

Обратите внимание, что для любой модели ответ в задаче получится один и тот же (при условии, что модель составлена и решена правильно).

В ответвлении вы можете подробнее узнать о системах уравнений.


 

Системы уравнений

Рассмотрим такой пример. Если сыщик знает про одного преступника, что тот высокий, а про второго, что тот блондин, то эти два условия не объединены в систему, они относятся к разным неизвестным – к разным преступникам.

Рис. 1. Пример условий, которые не объединены в систему

Если это информация про одного и того же преступника, то это уже система. Оба условия выполняются одновременно. Одну информацию можно использовать для уточнения другой. Преступник – высокий блондин.

Рис. 2. Пример условий, которые объединены в систему

Рассмотрим ещё один пример. Пусть нам известно, что дом находится на ул. Гоголя. Вариантов, где точно расположен дом, много – целая улица. Дом находится на проспекте Мира. То же самое – вариантов много.

Но если эта информация относится к одному и тому же дому, то сразу понятно, что дом находится на перекрестке (Рис. 3). Два условия объединены в систему.

Рис. 3. Ещё один пример условий, которые объединены в систему

Итак, система – это объединение нескольких условий так, чтобы они выполнялись одновременно.

Теперь рассмотрим систему уравнений в математике.

Задача . Два человека вскопали огород площадью . Сколько вскопал каждый, если они вскопали одинаковую площадь?

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Запишем условие уравнением: , где  – площадь, которую вскопал первый человек,  – площадь, которую вскопал второй человек.

Решение такого уравнения – пара чисел. Их бесконечно много. Например, один вскопал , другой – . Или один вскопал все , другой – ничего (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Запишем условие, что два человека вскопали равные площади (Рис. 6), уравнением: .

Здесь тоже бесконечно много решений.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

А если речь идет про один и тот же огород, про одних и тех же людей, то эти два условия выполняются одновременно. Двое вскопали огород , причем поровну.

Уравнения нужно объединить в систему. Договорились обозначать это фигурной скобкой:

Здесь уже только одно решение – каждый вскопал по : .

Эта пара чисел является решением каждого из уравнений системы.

Ответ: .

Пример составления математической модели

Задача

Смешали два водно-солевых раствора с концентрацией  и получили  граммов раствора с концентрацией . Сколько взяли граммов каждого раствора?

Решение

Запишем условие в другом виде.

  1. Смешали два раствора и получили  граммов раствора:
  2. В первом растворе содержится соли:
  3.  Во втором растворе содержится соли:

В смеси с одной стороны,

а с другой,

Получаем еще одно условие: .

То есть

Для того чтобы не переписывать так длинно, введем удобные обозначения , а ещё лучше ввести – :

Тогда получим систему уравнений:

Что мы сделали? Мы записали условие задачи на математическом языке. В таком виде легко будет найти ответ, решив систему уравнений.


 

Почему мы можем работать с неизвестными переменными

 

Обратите внимание, что во всех задачах мы использовали один и тот же приём – обозначали неизвестную за  и переписывали условие на математическом языке, используя это обозначение. То есть мы ещё не знаем, чему равен , но уже его используем.

Этот метод мы применяем для решения любой задачи: не знаем, что ищем, но делаем некоторые допущения, без которых невозможно было бы даже приступить к решению.

Например, детектив, прежде чем искать преступника, делает предположение – это человек. Он ещё не знает – мужчина или женщина, какой рост, вес, цвет кожи и т.д. (Рис. 1).

Рис. 1. Прежде чем искать преступника, необходимо сделать предположение

Как иначе искать отпечатки пальцев на ручке, если не предполагать, что это человек? Сделав такое предположение, детектив позволяет себе начать думать о решении и использовать «технику»: по размерам отпечатков искать размер обуви, по пеплу искать марку сигарет и т.д. (Рис. 2).

Рис. 2. По размеру отпечатка можно определить размер обуви

В алгебре своя техника, которую мы будем изучать на уроках, – решение уравнений, систем и т.д. Но если использовать только числа и не вводить переменные, то не получится «забежать вперёд», т.е. составить уравнение или систему, которая позволит решить задачу.

Математические модели для задач, которые сводятся к линейным уравнениям

 

Для решения задач нам нужно сделать следующее.

  1. Составить математическую модель (т.е. переписать условие на математическом языке).
  2. Решить полученное уравнение или систему. 

Как решать полученную систему уравнений – это техника, о которой мы будем говорить позже, поскольку это отдельная задача.

Научившись решать какой-то тип уравнений или их систем, мы научимся решать целый класс задач. Например, мы умеем решать линейные уравнения:  где  – числа,  – переменная. Поэтому мы умеем решать все задачи, условие которых можно переписать в таком виде.

 

Рассмотрим три такие задачи.

 

Задача 1

Автомобиль  часа ехал с некоторой постоянной скоростью, затем увеличил скорость на  км/ч и проехал так  часов.

С какой скоростью автомобиль ехал первые часа, если весь путь составил  км?

Задача

Килограмм апельсинов стоит на  рублей больше, чем килограмм яблок. Сколько стоит килограмм яблок и килограмм апельсинов, если за  кг яблок и  кг апельсинов заплатили  руб?

Задача

Второй рабочий делает в час на  деталей меньше первого. Если он проработает  часов, а потом его сменит первый и проработает  часа, то вместе они сделают  деталей.

Сколько деталей делает каждый рабочий в час?

Из определения скорости вы можем выразить пройденный путь:  где  – путь,  – скорость,  – время.

Пусть  – скорость за  часа, тогда:

Пусть  – цена за  яблок, тогда:

Пусть  – количество деталей в час у первого рабочего, тогда:

 

У нас были совершенно разные задачи, но, составив математическую модель, мы увидели, что все эти задачи сводятся примерно к одинаковым уравнениям. Поэтому мы учимся решать не уравнения к каждой конкретной задаче, а сразу некоторый тип уравнений.

Например, в задачах, рассмотренных выше, мы везде получили линейные уравнения:  где  – числа,  – переменная.

Такие уравнения мы уже умеем решать, значит, умеем решать и все такие задачи.


 

Модель на уроках математики и физики

 

Обратите внимание: в учебниках по математике вам сразу даются задачи в математической модели, в них выделено всё важное.

Например: моторная лодка прошла против течения реки  км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на  часов меньше времени.

Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью  км/ч.

Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.

 

Нам не даны размеры лодки, мощность мотора, ширина реки, наличие ветра и его скорость и т.д.

Подразумевается, что для решения достаточно данных в условии значений: длина пути, время, скорости движения лодки и течения реки (Рис. 1). То есть задача уже упрощена.

Рис. 1. Для решения задачи достаточно данных в условии значений

Нам остаётся текстовую модель реальной ситуации переписать на математическом языке, составить математическую модель и решить её.

 

На уроках по физике вам будут попадаться задачи, в которых саму модель ещё надо будет составить (например, пренебречь трением между каким-то телами или массой лёгкого объекта). И только после того, как будет составлена модель, можно будет составлять математическую модель и её решать. Собственно, физическая часть решения задачи – это как раз составление модели. И сложность заключается в том, что мы должны выделить самое важное и отбросить неважное до того, как решим задачу.

Дальше остается техника, для которой как раз и нужна математика. То есть математики создают удобные инструменты и отрабатывают технику работы с этими инструментами, а физики выбирают, какие инструменты понадобятся для решения той или иной физической задачи, а какие – нет (Рис. 2).

Рис. 2. Математики создают удобные инструменты для решения задач, а физики выбирают, какие из инструментов понадобятся

Математические модели для текстовых задач

В завершении рассмотрим задачу, которая не застанет вас врасплох, если вы умеете составлять и решать математические модели.

 

Задача . Кирпич весит килограмм и еще полкирпича. Сколько весит кирпич?

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 4

Эта задача нацелена на то, чтобы вы ответили сходу и дали неправильный ответ. Конечно же, ответ «полтора килограмма» неверный. А потом, когда рассказчик вам даст правильный ответ, вы должны восхититься этим фокусом. На самом деле восхищаться здесь нечем. Математическая модель дает нам очень быстрое решение.

 

Решение (с использованием математической модели)

Нам неизвестна масса кирпича, поэтому обозначим ее. Пусть  – масса кирпича. Тогда масса половины кирпича .

Тогда условие задачи перепишем в следующем виде: .

Это и есть наша математическая модель. Так как она сохраняет только важное для задачи, то здесь лишние слова нас не вводят в заблуждение, и мы легко решаем эту смоделированную задачу, т.е. уравнение:

 

Итак, – это решение нашей модели – уравнения. Таким образом, масса кирпича равна  кг.

Ответ: .

Можно решить эту задачу и без математического моделирования.

Кирпич весит килограмм и еще полкирпича. Кладем это всё на весы. Кирпич мы можем расколоть на две половины. Мы можем с обеих сторон убрать полкирпича (Рис. 13).

Рис. 13. Раскололи кирпич пополам и убрали с обеих чаш по половине

То есть мы уже поняли, что полкирпича весит килограмм. Значит, весь кирпич весит .

Но здесь на последнем шаге мы снова применили математическую модель, а собирались без нее.

Доведем дело до конца по-честному. Раз полкирпича весит столько же, сколько гиря, то добавим слева полкирпича, а справа гирю. Склеим снова кирпич. Таким образом, масса кирпича  (Рис. 14).

Рис. 14. Добавили слева полкирпича, а справа – гирю и склеили кирпич

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели два этапа решения текстовых задач – составление математической модели (переписывание условия задачи на математическом языке) и техника (расчёт полученной модели). И подробно остановились на первом этапе, потренировались составлять математические модели к разным задачам.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, изд-во «Просвещение», 2017.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2014.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
  2. Интернет-портал school-assistant.ru (Источник)
  3. Интернет-портал edufuture.biz (Источник)

 

Домашнее задание

  1. В одной кассе кинотеатра продали на  билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано  билета?
  2. Двое рабочих изготовили  деталей, причем первый изготовил на  деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
  3. На путь по течению реки пароход затратил  ч, а на обратный путь –  ч. Скорость течения  км/ч. Какова скорость парохода в стоячей воде?