Классы
Предметы

Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Формулировка темы урока

Рассмотрим формулу квадрата суммы:

.

Выведение и доказательство формулы квадрата суммы

Итак, мы вывели формулу квадрата суммы:

.

Словесно эта формула выражается так: квадрат суммы равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Данную формулу легко представить геометрически.

Рассмотрим квадрат со стороной :

 – площадь квадрата.

С другой стороны, этот же квадрат можно представить иначе, разбив сторону на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квадрат

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

.

Поскольку квадраты были одинаковы, то их площади равны, значит:

 .

Итак, мы доказали геометрически формулу квадрата суммы.

Решение примеров на формулу квадрат суммы

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

.

Комментарий: пример решен с применением формулы квадрата суммы.

Пример 2:

.

Пример 3:

+1.

Выведение формулы квадрата разности

Выведем формулу квадрата разности:

.

Итак, мы вывели формулу квадрата разности:

.

Словесно эта формула выражается так: квадрат разности равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Решение примеров на формулу квадрат разности

Рассмотрим примеры:

Пример 4:

.

Пример 5:

.

Пример 6:

.

Формулы квадрата суммы и квадрата разности могут работать как слева направо, так и справа налево. При использовании слева направо это будут формулы сокращенного умножения, они применяются при вычислении и преобразовании примеров. А при использовании справа налево – формулы разложения на множители.

Рассмотрим примеры, в которых нужно разложить заданный многочлен на множители, применяя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нужно очень внимательно посмотреть на многочлен и определить, как именно его правильно разложить.

Решение примеров на разложение многочлена на множители

Пример 7:

.

Комментарий: для того, чтобы разложить многочлен на множители, нужно определить, что представлено в данном выражении. Итак, мы видим квадрат  и квадрат единицы. Теперь нужно найти удвоенное произведение – это . Итак, все необходимые элементы есть, нужно только определить, это квадрат суммы или разности. Перед удвоенным произведением стоит знак плюс, значит, перед нами квадрат суммы.

Пример 8:

.

Пример 9:

.

Комментарий: для решения данного примера нужно вынести минус за скобки, чтобы можно было увидеть нужную нам формулу.

Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности

Перейдем к решению уравнений:

Пример 10:

;

;

;

;

;

.

Комментарий: для решения данного уравнения нужно упростить левую часть, применяя формулу разности квадратов и квадрата разности, после этого привести подобные члены. После этого перенести все неизвестные в левую часть, а свободный член в правую и решить элементарное линейное уравнение.

Пример 11:

Вычислить: .

Комментарий: для решения данного примера нужно применить формулы разности квадратов и квадрата суммы, после этого сократить полученную дробь.

Пример 12:

Доказать равенство:

.

Разложим на множители :

.

Из каждого множителя вынесем минус единицу за скобки:

.

Мы доказали равенство (a - b)= (b - a)2.

Данное равенство является очень полезным при упрощении выражений. Рассмотрим пример.

Пример 13:

Разложить на множители: .

Пример 14:

Докажите, что квадрат всякого нечетного числа, уменьшенный на единицу, делится на восемь.

Представим произвольное нечетное число как , а его квадрат, соответственно, как . Запишем выражение согласно условию:

.

Упростим полученное выражение:

.

Чтобы доказать, что полученное выражение кратно восьми, нам нужно доказать, что оно делится на 2 и на 4. Очевидно, что выражение кратно четырем, так как в нем есть множитель 4. Поэтому нам нужно доказать, что  делится на 2.

Запись  – это произведение двух последовательных чисел, а оно всегда кратно двум, так как из двух последовательных чисел одно всегда будет четным, а второе, соответственно, нечетным, а произведение четного числа на нечетное кратно двум, значит, выражение  кратно восьми. Итак, мы доказали, что квадрат всякого нечетного числа, уменьшенный на единицу, делится на восемь.

Выводы по уроку

Вывод: на данном уроке мы вывели формулы квадрата суммы и квадрата разности и научились решать самые разнообразные задачи на применение этих формул.

 

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 372, с. 135
  2. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 383, с. 135
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 384, с. 135

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Школьный помощник (Источник).
  2. Задачи и тесты (Источник).
  3. Портал естественных наук (Источник).