Классы
Предметы

Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов

На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Формулировка темы и цели урока и напоминание материала предыдущего урока

Напомним, что на предыдущем уроке мы рассмотрели формулы квадрата суммы и квадрата разности. Запишем их:

.

Вывод формулы разности квадратов

Выведем формулу разности квадратов. Выполним умножение двучленов по правилу:

.

Итак, .

Словесно данная формула выглядит так: разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность.

 мы называем разностью квадратов.

 мы называем квадратом разности, не следует путать два этих выражения.

Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки

Рассмотрим применение формул в типовых задачах. Начнем с задач на прямое применение формулы.

Пример 1: .

Примем  за ,  за , получим:

.

Распишем согласно формуле:

.

Перейдем к исходным переменным:

.

Стандартная ошибка:

поменяем в скобке со знаком плюс слагаемые местами, получим:

.

Часто при такой записи путают, какой квадрат следует вычесть из какого:

.

Решение примеров на прямое применение формулы

Пример 2:

.

Комментарий: если возникают затруднения, можно, аналогично предыдущему примеру, заменить одно из выражений на а, а второе на b, чтобы легче было увидеть нужную формулу.

Пример 3:

.

Комментарий: в данном примере следует быть внимательными и не допустить типовую ошибку, описанную выше. Для этого удобно в первой скобке поменять слагаемые местами.

Перейдем к задачам на обратное применение формулы – разложение на множители.

Пример 4:

.

Комментарий: пример решен из определения разности квадратов. Нужно только определить, квадратом какого выражения является первый одночлен и второй.

Пример 5:

.

Пример 6:

Комментарий: в данном примере нужно несколько раз применить изучаемую формулу. Может быть задано из полученной в конце длинной формулы получить стандартный вид многочлена, тогда нужно постепенно перемножать скобки между собой и сворачивать выражение до простейшего.

Примеры на комплексное применение нескольких формул

Следующий тип задач – комбинированное применение нескольких формул.

Пример 7 – упростить:

.

Комментарий: в данном примере нужно применить две формулы: разности квадратов и квадрата разности, в полученном выражении привести подобные члены.

Пример 8:

.

Решение уравнений и вычислительных задач

Перейдем к решению уравнений.

Пример 9:

.

Рассмотрим вычислительные задачи.

Пример 10:

.

Пример 11:

.

Выводы по уроку и домашнее задание

Вывод: на данном уроке мы вывели формулу разности квадратов и решили много различных примеров, а именно уравнения, вычислительные задачи, задания на прямое и обратное использование выведенной формулы и другие. Кроме того, решили несколько задач на комплексное применение нескольких формул.

 

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. Упростить: ; Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 358, с. 130.
  2. Разложить на множители: ; Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 354, с. 129.
  3. Вычислить: ; Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7, № 360, с. 130.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Школьный помощник (Источник).
  2. Портал естественных наук (Источник).
  3. Интернет-портал Studyport.ru (Источник).