Классы
Предметы

Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.2

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.2

На данном уроке мы рассмотрим усложненные задачи на применение формул сокращенного умножения, выполним много различных примеров для закрепления техники.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Формулировка темы урока и напоминание теоретического материала

Вспомним, какие задачи можно решать с помощью формул сокращенного умножения. Конечно, в первую очередь – это упрощение умножения многочленов. Вторая задача – разложение многочлена на множители. Формулы сокращенного умножения справедливы для любых значений  и , поэтому усложнение задачи во многом определяется именно усложнением выражений  и . Рассмотрим пример.

Решение уравнений

Пример 1 – решить уравнение:

;

;

 или  или

Рассмотрим первое из полученных уравнений:

; . Данное уравнение не имеет решений, поскольку квадрат любого выражения есть число положительное, а справа стоит число отрицательное.

Рассмотрим второе уравнение:

;

Третье уравнение:

;

Ответ:  или .

Комментарий: для решения данного уравнения нужно сначала разложить левую часть на множители, для этого нужно использовать формулу разности квадратов, причем несколько раз. Напомним, что разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы на разность. После того как разложение окончено, нужно вспомнить, что если произведение нескольких множителей равно нулю, то по крайней мере один из этих множителей равен нулю. Исходя из этого факта, приравнять каждую скобку к нулю и из полученных уравнений найти все возможные варианты решения.

Пример 2:

;

 или

Рассмотри первое уравнение:

;

.

Второе уравнение:

;

;

Ответ:  или .

Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему. Сначала нужно разложить левую часть выражения на множители, используя формулу разности квадратов. После этого решить уравнение, зная, что если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Решение примеров на разложение многочлена на множители

Пример 4 – разложить на множители:

Комментарий: для решения данного задания нужно разложить выражение на множители, пользуясь формулой разности квадратов. Полученные скобки необходимо упростить. Кроме того, можно избавиться от минусов. Для этого вынесем минус из одной скобки и внесем его во вторую.

Пример 5:

.

Данное выражение можно разложить двумя способами. Можно напрямую возводить в квадрат, но к упрощению это не приведет, а можно применить формулу разности квадратов:

Комментарий: после применения формулы в скобках нужно привести подобные члены и получить упрощенное выражение.

Пример 6 – представить выражение в виде квадрата двучлена:

;

.

Комментарий: для решения данного примера необходимо подробно разобрать заданный двучлен и свернуть его по формуле квадрата разности.

Пример 7:

Комментарий: при решении данного примера нужно внимательно разобрать заданное выражение и определить, квадраты каких выражений представлены, после этого проверить удвоенное произведение и свернуть выражение как квадрат разности.

Пример 8:

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему, нужно правильно определить квадраты выражений, определить сами выражения, проверить удвоенное произведение и свернуть квадрат разности.

Пример 3:

; ;

 

;

 

 или .

Первое уравнение:

Второе уравнение:

.

Ответ:  или

Комментарий: пример решается аналогично предыдущим: левая часть расписывается по формуле разности квадратов, после этого решается уравнение. Правильность решения данного уравнения можно проверить. Поскольку переменная стоит в квадрате и больше ее в уравнении нет, то если уравнение имеет положительный корень, то оно обязательно имеет такой же отрицательный корень.

Решение усложненного примера

Пример 9: упростить:

;

Комментарий: для решения данного примера нужно неоднократно использовать формулу разности квадратов и сворачивать произведение суммы чисел на их разность, чтобы получить простейший результат.

Домашнее задание и выводы по уроку

Вывод: мы рассмотрели различные задачи и закрепили технику применения формул сокращенного умножения, научились решать усложненные задачи и решили много примеров.

 

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Егэ по математике (Источник).
  2. Интернет-портал Math-prosto.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. а) ; б) ; в)
  2. а) ; б) ; в) ;
  3. а); б) .