Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии

На данном уроке мы научимся решать текстовые задачи с элементами геометрии, применяя метод математического моделирования. Для этого сначала вспомним опорные геометрические факты и этапы решения задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Формулировка темы и цели урока

 На предыдущем уроке мы решали задачи с применением метода математического моделирования. Отличие этого урока заключается в том, что в задачах будут присутствовать элементы геометрии. Рассмотрим примеры.

Решение задачи №1, напоминание теоретических положений

Пример 1

Длина прямоугольника на 20 м больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 10 м, а ширину увеличить на 6 м, то его площадь увеличится на 12 м2. Найдите стороны прямоугольника.

Рассмотрим некоторые теоретические положения.

Обозначим сторону AD за х. Это длина прямоугольника. Сторону АВ обозначим за у, это ширина прямоугольника. Напомним, что противоположные стороны прямоугольника равны, а значит, ; .

Запишем формулу площади прямоугольника, которая вычисляется как произведение длины на ширину:

.

Запишем формулу периметра прямоугольника, который вычисляется как сумма длин всех сторон:

.

Итак, перейдем к решению задачи. Снова пользуемся методом математического моделирования.

1 этап – составление математической модели.

Примем ширину прямоугольника за . В условии сказано, что длина на 20 м больше ширины, отсюда получаем, что длина равна .

В условии речь идет о том, что площадь нового прямоугольника увеличится по сравнению с площадью данного. Запишем для начала площадь данного прямоугольника:

.

Далее в задаче сказано, что длину исходного прямоугольника уменьшили на 10 м, значит, длина нового прямоугольника будет .

Про ширину сказано, что ее увеличили на 6 м, значит, ширина станет .

 

Кроме того, нам нужна площадь нового прямоугольника, запишем ее:

.

В условии сказано, что площадь нового прямоугольника больше площади исходного на 12 м2. Запишем это в виде уравнения:

.

Математическая модель составлена.

2 этап – работа с математической моделью.

В данном случае работа с моделью заключается в решении составленного уравнения. Для того чтобы решить его, нужно выполнить умножение многочленов, после привести подобные члены, перенести все неизвестные влево, а свободные члены вправо и решить элементарное линейное уравнение.

;

;

;

;

;

;

;

;

.

3 этап – ответ на вопрос задачи.

В условии было задано найти стороны исходного прямоугольника. Мы нашли , за  была принята ширина, длина была обозначена как , значит, длина равна .

Ответ: ширина – 12 м, длина – 32 м.

Решение задачи №2

Пример 2

Периметр прямоугольника равен 240 см. Если длину прямоугольника уменьшить на 14 см, а ширину увеличить на 10 см, площадь его увеличится на 4 см2. Найти стороны прямоугольника.

1 этап – составление математической модели.

Пусть длина прямоугольника равна х. Известен периметр, который, как мы знаем, равен сумме длин всех сторон, значит, можем вычислить ширину:

Запишем площадь исходного прямоугольника:

.

Далее стороны прямоугольника необходимо изменить, а именно: длину прямоугольника уменьшить на 14 см, а ширину увеличить на 10 см. получим, что новая длина равна , а новая ширина .

Кроме того, запишем площадь нового прямоугольника:

.

В условии сказано, что площадь нового прямоугольника увеличится на 4 см2 относительно площади исходного. Запишем это в виде уравнения:

.

Составление модели завершено.

2 этап – работа с математической моделью.

Решим составленное уравнение:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

3 этап – ответ на вопрос задачи.

Было задано найти стороны исходного прямоугольника. Мы нашли , за х была принята длина прямоугольника. Ширина была определена как , значит, она равна .

Ответ: стороны прямоугольника равны 76 и 44 сантиметра.

Выводы по уроку

Вывод: на данном уроке были решены две текстовые задачи с элементами геометрии и приобретены навыки решения такого типа задач. Кроме того, закреплены навыки использования метода математического моделирования.

 

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. Задание 1: сторона квадрата на 7 см меньше длины и на 15 см меньше ширины прямоугольника. Найти стороны прямоугольника, если площадь квадрата на 215 см2 меньше площади прямоугольника.
  2. Задание 2: длина прямоугольника в четыре раза больше его ширины. Если длину уменьшить на 20 см, а ширину увеличить на 10 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 100 см2. Найти стороны прямоугольника.
  3. Задание 3: периметр прямоугольника равен 28 см. Если его длину увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 3 см2. Найти площадь исходного прямоугольника.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Задачи и тесты (Источник).
  2. Школьный помощник (Источник).