Классы
Предметы

Решение задач по теме «Одночлены. Арифметические операции над одночленами»

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение задач по теме «Одночлены. Арифметические операции над одночленами»

На этом уроке мы рассмотрим, как выполнять арифметические операции над одночленами, решим различные задания на эту тему.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Введение

На этом уроке мы будем решать задачи, связанные с одночленами. Мы умеем выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. На эти действия мы и будем решать задачи.

Пример 1. Сложение одночленов

Выполнить сложение одночленов: .

Решение. Прежде всего вспомним, что складывать и вычитать, приводя подобные, можно только одночлены с одинаковой буквенной частью. Принцип здесь очень прост. Если у вас было  яблока и  яблок, то вместе у вас  яблок. А если было  яблока и  груш, то вы не можете говорить ни про  яблок, ни про  груш. Наконец, если было  яблока и  груши, а потом вам дали еще  яблока и  груш, то стало  яблок и  груш, то есть мы складываем яблоки с яблоками, груши – с грушами. Точно так же и с одночленами: складывать (или вычитать) коэффициенты мы можем только у тех одночленов, у которых буквенная часть полностью совпадает (в том числе и степени переменных).

Чтобы увидеть подобные слагаемые, запишем каждый одночлен в стандартном виде (упорядочив переменные по алфавиту для удобства). Будет: .

Найдем и приведем подобные слагаемые: .

Можно заметить, что, по сути, мы применили распределительный закон два раза, вынеся за скобки  и  соответственно: .

То есть получаем, что .

Пример 2. Умножение одночленов

Умножить одночлены: .

Решение. Напомним, что при умножении одночлена на одночлен нужно перемножить коэффициенты отдельно, а буквенные части отдельно – к каждой букве применяем свойство степеней, складывая показатели.

Получаем: .

Пример 3. Возведение одночленов в степень

Умножить одночлены: .

Решение. Чтобы возвести одночлен в степень, нужно его коэффициент возвести в эту степень, а также каждую переменную возвести в степень. При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются.

Сначала возведём выражение в скобках в куб, а затем применим уже повторенное свойство умножения одночлена на одночлен. Получаем: 

.

Пример 4. Деление одночленов

Разделить одночлены: .

Решение. В этом случае мы делим коэффициент делимого на коэффициент делителя, а затем последовательно делим степень каждой переменной (буквы). При делении показатели степени вычитаются.

Сначала возведем одночлены в степень, а потом выполним деление. Получаем:

.

Пример 5. На все арифметические операции

Упростить выражение: .

Решение

1. Первым действием приведем подобные в первых скобках и возведем полученный результат в куб: 

2. Возведем в четвертую степень второй множитель: 

3. Перемножим результаты первого и второго действия: 

4. Поделим одночлены: 

5. Отнимем одночлены, которые получились в третьем и четвертом действиях:

Получаем, что: .


Пример

Упростить выражение: 
при условии, что  такое, что в первой скобке можно привести подобные слагаемые.

Решение. Найдем . Чтобы вычесть одночлены, их буквенные части должны совпадать с точностью до показателя степени, то есть , откуда . Тогда .

Имеем:

Заключение

На этом уроке мы вспомнили все основные действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), и повторили, как их выполнять, на различных примерах.

 

Список литературы

1. М.И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 224 с.

2. Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 184 с.

3. Э.Г. Гельфман и др., Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 264 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

3. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Замените символ  таким одночленом, чтобы выполнялось равенство: .