Классы
Предметы

Одночлены

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Одночлены

На данном уроке мы вспомним основные теоретические понятия, касающиеся одночленов, и теоремы о степенях, на которой они базируются. Мы вспомним основные типовые задачи и рассмотрим примеры их решения.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Тема: Повторение курса алгебры 7-го класса

Урок: Одночлены

1. Напоминание теоретических основ

Напомним определение одночлена: одночленом называют произведение чисел и переменных, возведенных в степени с натуральным показателем. Иначе говоря, одночлен – это произведение степеней. Например,  – одночлен. В нем мы можем перемножить между собой числа и степени с одинаковым основанием, поэтому важную роль при работе с одночленами играют теоремы о степенях. Напомним их:

;

;

;

Мы привели правила работы со степенями с одинаковым основанием – основание остается неизменным, а определенные действия производятся с показателями. Если же у степеней одинаковые показатели, но разные основания, действуют другие правила:

;

, ;

2. Приведение одночлена к стандартному виду

Вернемся к заданному одночлену:

Первым делом его нужно привести к стандартному виду, то есть перемножить числа – получить численный коэффициент, и соответствующие степени – получить буквенную часть:

В данном одночлене  – численный коэффициент, а  – буквенная часть.

3. Арифметические операции над одночленами

После того, как одночлен приведен к стандартному виду, с ним можно производить различные действия. Если задано несколько одночленов, и они имеют одинаковую буквенную часть, то мы имеем право их складывать и вычитать. Кроме того, любые одночлены можно умножать и возводить в степень, также можно одночлены делить, но с некоторой оговоркой. Рассмотрим пример:

Пример 1:

Комментарий: очевидно, что одночлены имеют одинаковую буквенную часть, значит, мы имеем право их вычитать. Для этого мы вычтем коэффициенты, а буквенную часть перепишем без изменений.

Как уже было сказано, умножать можно любые одночлены, так как, умножив одночлен на одночлен, мы получим новый одночлен, который нужно будет только привести к стандартному виду.

Пример 2:

Комментарий: в результате умножения двух одночленов мы получили новый одночлен и привели его к стандартному виду – перемножили числа и степени, получили численный коэффициент и буквенную часть.

Пример 3:

Комментарий: отметим, что возведение в степень – это умножение одночлена на самого себя некоторое количество раз. Для возведения одночлена в натуральную степень каждый его элемент – численный коэффициент и каждую степень – возводят в нужную степень.

Было сказано, что можно выполнять деление одночленов, но с некоторой оговоркой. Рассмотрим примеры.

Пример 4:

Комментарий:

Комментарий: в первом случае деление одночленов возможно, это значит, что при делении одночленов мы получаем новый одночлен. Во втором случае при делении одночленов мы получили алгебраическое выражение.

4. Решение основных типовых задач

Перейдем к рассмотрению типовых задач.

Пример 5: упростить выражение:

Итак, приведем новый одночлен к стандартному виду – получим численный коэффициент и буквенную часть:

Пример 6: упростить выражение:

Выполним возведение одночленов в степень, после этого упростим числитель – умножим одночлены, затем выполним деление:

Пример 7: решить уравнение:

Буквенная часть одночленов одинаковая, значит, мы имеем право их сложить:

В этом элементарном уравнении очевиден ответ:

Нам было задано простейшее уравнение и требовалось только найти его корень, но чаще это уравнение сперва нужно составить – как, например, при решении текстовых задач.

Пример 8: туристы были в походе 3 дня. В первый день они прошли  всего пути, во второй день  оставшегося пути, и в третий день 25 км. Найти общую длину пути.

Для решения задачи применим метод математического моделирования.

Этап 1 – составление математической модели:

Обозначим весь пройденный туристами путь за х километров, в таком случае, в первый день они прошли  километров, таким образом, им осталось пройти  километров, тогда во второй день они прошли треть оставшегося пути – , и в третий день 25 километров. Составим схему (рис. 1):

Рис. 1

Запишем общий путь в виде уравнения:

Математическая модель составлена.

Этап 2 – работа с математической моделью: найдем корни составленного уравнения. Все неизвестные перенесем влево, а свободные члены – вправо:

В левой части его стоят одночлены с одинаковой буквенной частью – имеем право их сложить:

Сократим дробь:

Умножим обе части уравнения на 11:

Разделим обе части уравнения на 5:

Этап 3 – ответ на вопрос задачи: мы нашли , за х было принято расстояние, пройденное туристами, что и нужно было найти в задаче, таким образом, даем ответ: путь, пройденный туристами, составляет 55 километров.

Рассмотрим шуточную задачу.

Пример 9: задумайте число. Прибавьте к нему 10. Отнимите 2. Отнимите задуманное число. Прибавьте 10. Вы получили число 18?

Каким образом получился такой «фокус»? мы попросили человека задумать число, а через несколько действий задуманное число отнять, опишем последовательность, обозначив задуманное число за х:

Упростив выражение, получаем 18, то есть независимо от задуманного числа вы можете предугадать результат, запоминая заданные числа.

Задачу можно усложнить:

Задумайте число. Прибавьте 10. Умножьте результат на 2. Прибавьте 10. Отнимите задуманное число. Прибавьте 10. Отнимите задуманное число. Прибавьте 10.

Опишем последовательность, обозначив число за х:

Упростим полученное выражение:

Результат снова не зависит от задуманного числа, нужно только запомнить, что вы попросили прибавлять и отнимать.

5. Выводы по уроку

Вывод: на данном уроке мы вспомнили основные определения и свойства одночленов, типовые задачи, с ними связанные. Мы решили различные примеры, чтобы вспомнить и окончательно закрепить технику работы с одночленами.

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Математика-повторение (Источник).
  2. Школьный помощник (Источник).
  3. Школьный помощник (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №469, ст. 104;
  2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №472, ст. 104;
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Алгебра 7, №288, ст. 61.