Классы
Предметы

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

На данном уроке мы вспомним понятие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, ее общий вид, варианты и способы решения. Мы вспомним некоторую терминологию и решим несколько примеров.

Понятие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, основные факты

Напомним, что из себя представляет система двух линейных уравнений с двумя переменными. Это система вида:

Из первого уравнения  можно получить линейную функцию, в случае если : . График данного уравнения – прямая линия.

Bторое линейное уравнение:

, из него также можно получить линейную функцию, при условии, что : . График данного уравнения – также прямая линия.

Запишем систему в другом виде:

Мы знаем, что множеством решений первого уравнения является множество точек, лежащих на соответствующей ему прямой, аналогично и для второго уравнения множество решений – это множество точек на другой прямой. Две прямые могут пересекаться – и тогда у системы будет единственное решение, единственная пара чисел х и у будет удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Это происходит, если . Две прямые также при некоторых значениях численных параметров могут быть параллельны, в таком случае они никогда не пересекутся и не будут иметь ни одной общей точки, значит в этом случае система не будет иметь решений. Для этого должны выполняться условия:  и . Кроме того, две прямые могут совпадать, и тогда каждая точка будет решением обоих уравнений, а значит система будет иметь бесчисленное множество решений. Для этого должны выполняться условия:  и .

Способ подстановки

Пример 1:

На данном уравнении можно продемонстрировать сразу несколько способов решения систем уравнений.

1 способ – способ подстановки: выразим во втором уравнении х и подставим полученное выражение в первое уравнение:

Подставим найденное значение у во второе уравнение и найдем значение х:

Способ алгебраического сложения

2 способ – способ алгебраического сложения: выполним сложение уравнений:

Из полученного уравнения найдем х:

Теперь вычтем из первого уравнения системы второе:

Таким образом, мы получили решение системы двумя способами, и это решение – точка с координатами (2; 1).

Системы уравнений с одним решением

Пример 2:

В данном случае удобнее применить способ алгебраического сложения, вычтем из второго уравнения первое. Получаем:

Найдем значение у:

Подставим значение у во второе уравнение и найдем х:

Ответ: (60; 30).

Пример 3:

В данной системе нет переменных с одинаковыми коэффициентами, но мы можем их уравнять самостоятельно, для этого выполним преобразования:

Выполним сложение уравнений:

23y = -46, y = -2

Подставим полученное значение у в первое уравнение и определим значение х:

Ответ: (-3; -2).

Системы, имеющее бесконечное множество или не имеющие решений

Пример 4:

Разделим второе уравнение на два:

Вычтем из первого уравнения второе:

Очевидно, что полученное выражение не зависит от значений переменных системы и не является верным числовым равенством, значит, система не имеет решений. В данном случае рекомендуется графически доказать, что система не имеет решений, для этого из уравнений записать линейные функции, построить их и показать, что прямые параллельны.

Пример 5:

Очевидно, что, если разделить второе уравнение на два, получим первое уравнение:

Мы получили два одинаковых уравнения, значит, чтобы довести решение системы до конца, можем оставить одно: ; это линейное уравнение с двумя переменными, график его – прямая линия, и оно имеет бесчисленное множество решений, а значит и система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы записать решения, выразим у: , таким образом, дадим ответ: х – любое число,

Графическая иллюстрация (рис. 1):

Рис. 1

Подведение итогов урока

Вывод: мы рассмотрели системы двух линейных уравнений с двумя переменными, варианты и способы их решения. Мы вспомнили некоторые термины, понятия и свойства и решили примеры для закрепления техники.

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  3. ЕГЭ по математике (Источник).
  4. Школьный помощник (Источник).
  5. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  6. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №1072, ст. 200;
  2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №1084, ст. 204;
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №1086, ст. 204.