Классы
Предметы

Степень с натуральным показателем (Г.Г. Гаицгори)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Степень с натуральным показателем (Г.Г. Гаицгори)

На этом уроке мы познакомимся с понятием степени с натуральным показателем – краткой записью умножения одинаковых множителей. На примерах убедимся, что использование степеней не только позволяет сократить запись некоторых вычислений, но и упростить сами вычисления. Кроме того, мы выведем и докажем свойства степеней с натуральным показателем, потренируемся применять их для упрощения и вычисления значения различных выражений.

Сокращения в повседневной жизни

В повседневной жизни мы часто используем различные сокращения. Например, в школе говорим «физра» вместо «физкультура», «физкультура» вместо «физическая культура». Или используем различные аббревиатуры: например, мы говорим «дэзэ» вместо «домашнее задание».

Понятно, что так намного быстрее и удобнее, когда все знают, о чём идёт речь. Это общая идея, которая часто встречается: если приходится работать с какими-то объектами очень часто, то рано или поздно возникает идея их удобно обозначить.

В математике также используются удобные обозначения, то есть те, для работы с которыми придуманы эффективные алгоритмы. Например, позиционная система записи чисел: мы записываем числа с помощью цифр – число 754 пишем цифрами 7, 5, 4.

Почему мы записываем их именно так, а не палочками, не римскими цифрами или словами? Ответ понятен: потому что позиционная система записи чисел позволяет быстро и удобно выполнять арифметические действия – для этого есть удобный алгоритм.

Например, можно попробовать умножить  – удобно сделать это умножением в столбик (Рис.).

Рис. . Умножение в столбик чисел

Квадрат числа, куб числа

Вспомним, что такое умножение – это удобная запись нескольких операций сложения одинаковых чисел, например: .

Когда для этого обозначения были получены и доказаны свойства, оно превратилось в полноценную арифметическую операцию, которую удобно использовать для вычислений.

А что если нужно умножить одно и то же число несколько раз? Например, чтобы найти площадь квадрата, умножаем его сторону на себя два раза (Рис. ), т.е. , а чтобы найти объём куба – три раза (Рис. ), т.е. .

Рис. . Квадрат и куб со стороной (ребром)

Вы уже знакомы с короткой записью этих выражений:  – это выражение называется квадратом числа  (площадь квадрата со стороной ), а выражение  – кубом числа  (объём куба с ребром ).

Степень числа  с натуральным показателем

А что если число умножается само на себя не  раза, а  раз?

Обобщим короткую запись квадрата числа и куба числа: если нам нужно будет умножить число на себя много раз, например,  раз, то запишем такое умножение следующим образом:

 

Определение: степенью числа  с натуральным показателем  называют произведение  множителей, каждый из которых равен : , где  – основание степени (может принимать любые значения),  – показатель степени ().

Обратите внимание, что степень – это не что-то новое, а просто короткая запись умножения одинаковых множителей.

Вычисление плотности Земли

А насколько удобно такое обозначение, пригодится ли оно нам? Рассмотрим пример.

Масса Земли равна  кг. Можно переписать в тоннах:  т – получилось не намного более удобно. Особенно, если нужно определить, например, среднюю плотность Земли. Вспомним, что плотность вычисляется по формуле .

Масса нам известна, осталось посчитать объём Земли. Будем считать Землю её шаром с радиусом  км. Объём шара, как мы знаем, вычисляется по формуле: .

Получится .

Если делить полученные значения массы и объёма в столбик, это займёт много времени

 


 

Вычисление объёма Земли

Объём шара рассчитывается по формуле  где  – радиус шара.

В нашем случае  км, тогда

 

Попробуем использовать введённые обозначения степени.

Масса Земли может быть записана в виде: , где второй множитель – это , умноженное на себя  раза, то есть . Получаем:

 кг

Такая запись гораздо компактнее (в частности, чтобы передать такую информацию, нужно всего  знака: первый множитель и степень ). А объём можно переписать в виде:

Кроме компактности записи, использование степеней позволяет сократить и вычисления. Найдём среднюю плотность Земли:

В числителе стоит произведение  множителей , а в знаменателе –  таких множителей. Значит, после сокращения в знаменателе все множители  исчезнут, а в числителе их останется , т.е. получим:

Обратите внимание, что мы всего лишь по-другому записали числа (ввели новый объект – степень), и это помогло упростить и сократить вычисления.


 

Стандартный вид числа

Мы упростили вычисления с помощью новой записи числа. Массу Земли мы представили в виде  кг. Для такой записи есть отдельное название, ее называют стандартным видом числа.

Определение: стандартным видом числа называют его запись в виде: , где  и  – целое число.

Обратите внимание, что объём Земли был записан в похожем виде, но не в стандартном:

В стандартном виде это число было бы записано так:


 

Деление степеней с одинаковым основанием

Вычисляя среднюю плотность Земли, мы вывели одно из свойств степени – деление степеней с одинаковым основанием.

Действительно, пусть нам необходимо поделить две степени с одинаковым основанием:

 

То же самое можно выполнить для любых степеней:   при ().

Если , то мы получим: .

Итак, по определению: .

Умножение степеней с одинаковым основанием

А что будет, если мы захотим умножить две степени с одинаковым основанием? Например, чему равно выражение: ? Найдем:

Теперь найдем :

А теперь то же самое можно сделать для любых степеней с одинаковым основанием:

Рассмотрим пример с использованием полученных свойств степеней.

Задание . Представить в виде степени с основанием :

Решение:

Ответ: .

Возведение степени в степень

Теперь попробуем возвести степень в степень:

Такие же действия мы можем проделывать для любых степеней:

Рассмотрим такой пример.

Задание . Вычислить:

Решение:

Ответ: .

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

До этого мы рассматривали свойства степеней  одинаковыми основаниями. А что можно сказать про степени с одинаковыми показателями?

Рассмотрим выражение:

Запишем в общем виде:

Аналогично поступим с делением:

Запишем в общем виде:

Рассмотрим несколько примеров.

Задание . Представить в виде степени с основанием :

 

Решение:

 

Ответ: .

 

Задание . Вычислить:

Решение:

Ответ: .

Задание . Вычислить:

Решение:

Мы знаем свойства степеней с одинаковым основанием, а в данном примере все они разные. Поэтому упростим основания степеней, разложив их на простые множители:

Перепишем исходное выражение следующим образом:

Вспомним, что деление – это действие, обратное умножению, поэтому если мы хотим поделить на какое-то число, то это то же самое, что умножить на число, обратное ему:

А теперь сгруппируем степени с одинаковым основанием:

Ответ: .

Итак, упрощать выражения со степенями несложно: нужно разложить основания степеней на множители, затем, используя свойства степеней, сгруппировать степени с одинаковыми основаниями и упростить полученные группы степеней.

Заключение

На этом уроке мы ввели короткое обозначение произведения одинаковых чисел – степень с натуральным показателем: , а также получили некоторые свойства степеней и потренировались преобразовывать различные выражения со степенями.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2014.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2013

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «mathematics-repetition.com» (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Запишите произведение в виде степени: .
  2. Вычислите: .
  3. Упростите выражение: .