Классы
Предметы

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

Напоминание основных определений и теорем

Напоминание:

Основные определения:

Здесь a - основание степени,

 n - показатель степени,

- n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями, на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями.

Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

Рассмотрим следующие примеры:

Распишем выражения по определению степени.

1)

2)

Вывод: из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а и b и любого натурального n.

Формулировка и доказательство теоремы 4

Теорема 4

Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:

Доказательство теоремы 4.

По определению степени:

 .

Итак, мы доказали, что .

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Формулировка и доказательство теоремы 5

Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

Теорема 5

Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:

Доказательство теоремы 5.

Распишем  и по определению степени:

Формулировка теорем словами

Итак, мы доказали, что .

Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

Решение типичных задач с помощью теоремы 4

Пример 1: Представить в виде произведения степеней.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

а)

б)

в)

Для решения следующего примера вспомним формулы:

г)

д)

е)

ж)

Обобщение теоремы 4

Обобщение теоремы 4:

Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

з)

и)

к)

л)

Продолжение решения типичных задач

Пример 2: Запишите в виде степени произведения.

а)

б)

в)

г)

Пример 3: Запишите в виде степени с показателем 2.

а)  

б)  

Примеры на вычисление

Пример 4: Вычислить самым рациональным способом.

а)

б)

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Представить в виде произведения степеней:

а) ;      б) ;      в) ;      г) ;

2. Запишите в виде степени произведения:

а)       б)        в)  

3. Запишите в виде степени с показателем 2:

а)       б)      в)  

4. Вычислить самым рациональным способом.

а)