Классы
Предметы

Возведение степени в степень (формула (an)k=ank)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Возведение степени в степень (формула (a<sup>n</sup>)<sup>k</sup>=a<sup>nk</sup>)

На этом уроке мы изучим возведение степени в степень. Вначале вспомним определение степени и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковым основанием. Далее будет сформулирована теорема о возведении степени в степень. Затем мы приведем примеры ее использования на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач и будем решать типичные примеры с помощью всех теорем.

Напоминание основных определений и теорем 1 и 2, формулировка теоремы 3

Напоминание:

Основные определения:

Здесь a – основание степени,

n – показатель степени,

– n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что  n > k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

На этом уроке будет рассмотрена следующая теорема.

Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

Разъясняющие задачи к теореме 3

Вывод: частные случаи подтвердили правильность формулы . Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.

Доказательство теоремы 3

По определению степени:

 

Применим теорему 1:

 

Итак, мы доказали: , где а – любое число, n и k – любые натуральные числа.

Другими словами, чтобы возвести степень в степень показатели нужно перемножить, а основание оставить неизменным.

Решение примеров на вычисление с помощью теоремы 3

Пример 1: Упростить.

Для решения следующих примеров воспользуемся свойством .

а)

б)

в)

Комментарий к примеру 1.

Мы написали, что , но в то же время , так как .

Аналогично,   .

В качестве основания может быть любое допустимое алгебраическое выражение:

Пример 2:Упростить.

а)

б)

Пример 3: Вычислить.

а)  

б)  

в)

г). Комментарий:

д). Комментарий:

е). Комментарий:

Решение примеров на вычисление с помощью теорем 1, 2, 3

Пример 4: Упростить.

Для решения следующих примеров будем пользоваться теоремами 1, 2, 3.

а)

б)

в)

г)

д) или быстрее

е) =

Пример 5: Вычислить:

а)= 

 

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Mirurokov.ru (Источник).
  2. Школьный помощник (Источник).
  3. Интернет-портал Testent.ru (Источник).
  4. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Упростить:
    а)   б)    в)
  2.  Вычислить:
    а)   б) ;   в)   
  3. Упростить:
    а)   б)     в)              г)
  4. Вычислить:
    а)            б)