Классы
Предметы

Действительные числа

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Действительные числа

На этом уроке мы рассмотрим множество действительных чисел, узнаем, из каких множеств оно состоит. Рассмотрим, какие операции можно производить с действительными числами, научимся их сравнивать. Найдем связь между множеством действительных чисел и координатной прямой. Попытаемся сравнить бесконечные множества.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Часть 3. Иррациональные числа. Выводы»

Введение

Применение математических методов на практике базируется на двух основных операциях: счет и измерение. И то и другое осуществляется с помощью действительных чисел.

Множество действительных чисел и его определение

Множество действительных чисел обозначается буквой . Это множество объединяет все известные нам числовые множества.

Перечислим их:

1. Множество натуральных чисел –  – это числа для счета предметов окружающего мира.

2. Множество целых чисел – .

3. Множество рациональных чисел – . Каждое рациональное число представимо в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной, но периодической десятичной дроби. Например:  – конечная десятичная дробь.

 бесконечная, но периодическая десятичная дробь.

Измерения с помощью рациональных чисел могут быть или абсолютно точными, или приближенными, но с любой заранее заданной точностью. Пример:

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Рассмотрим прямоугольник (рис. 1). Одна сторона равна 3, другая – 4. Диагональ прямоугольника находится по теореме Пифагора:

Ответ – не только рациональное, но и натуральное число.

Изменим длины сторон прямоугольника (рис. 2).

Пусть первая сторона будет 1, а вторая – 2, тогда по теореме Пифагора длина диагонали равна:

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

 – это иррациональное число.

Докажите самостоятельно, что  – иррациональное число. Т. е. , где , .

Иррациональное число  может быть примерно найдено с помощью рациональных приближений. Например:  – это приближение по недостатку с точностью в одну десятую.

А точнее,  – это тоже приближение по недостаку, но уже с большей точностью – одна сотая.

Но точная запись такова:

 – бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Мы еще раз убедились в существовании не рациональных, а именно иррациональных чисел.

4. Множество иррациональных чисел – .

Ясно, что множества рациональных и иррациональных чисел не пересекаются. Число не может быть одновременно и рациональным, и иррациональным в силу определения иррационального числа – это такое число, которое не является рациональным.

Итак, мы рассмотрели основные составные части действительных чисел – это непересекающиеся множества рациональных и иррациональных чисел. И теперь мы готовы к определению.

Если множество рациональных чисел дополнить множеством иррациональных чисел, то вместе они составят множество действительных чисел.

Это множество  иначе обозначается как промежуток . Иногда пишут, что  есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел: .

Соответствие множества действительных чисел множеству всех точек на числовой прямой

Рассмотрим соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой прямой.

Каждой точке  числовой прямой соответствует единственное действительное число – ее координата. Координата  может быть рациональным или иррациональным числом (рис. 3).

Рис. 3. Точки на координатной прямой

Таким образом, между множеством действительных чисел  и множеством точек координатной прямой существует взаимооднозначное соответствие: каждая точка  имеет одну и только одну координату , где  – это действительное число: ,

И наоборот, каждое действительное число  – это координата единственной точки  на координатной прямой: ..

Формулы и законы для множества действительных чисел. Сравнение действительных чисел

На множестве  действительных чисел справедливы все формулы сокращенного умножения, все привычные нам законы. Например:

 – это было справедливо на множестве рациональных чисел, но все это справедливо и на множестве действительных чисел.

;  – теперь все эти законы справедливы на множестве действительных чисел.

Все действительные числа можно сравнивать. Для сравнения действительных чисел используют два способа:

1. Из двух действительных чисел  и  большим считается то, которое расположено правее на координатной прямой. Например (рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

2.  Число  считается большим числа , если разность .

Аналогично  меньше  тогда и только тогда, когда разность .

Соответственно:

Примеры:

             

       

Иерархия множеств

Множество  всех действительных чисел и его составные части можно представить себе следующим образом (рис. 5):

Рис. 5. Множества чисел

Прямоугольник – это множество действительных чисел , большой круг в нем – это множество рациональных чисел , круг чуть меньше – множество всех целых чисел , а самый маленький круг обозначает множество всех натуральных чисел . Оставшаяся заштрихованная часть обозначает множество всех иррациональных чисел .

На самом деле, есть и другие числовые множества. Когда-то мы разрешим проблему извлечения корня из  () и придем к множеству комплексных чисел.

Сравнение множеств

Пример 1

Рассмотрим множество натуральных чисел :

 

Множество четных чисел :

, т. е.

Множество  чисел кратных 10:

 

Кажется, что множество  является «половиной» множества , а множество  – еще меньшей частью множества .

Где больше элементов?

Ответ неожиданный. В каждом из трех множеств одинаковое число элементов. Между элементами каждого из множеств можно установить взаимооднозначное соответствие:

То есть каждому элементу множества  соответствует единственный элемент множеств  и , и наоборот, каждому елементу множеств  и  соответствует единственный элемент множества .

Таким образом, имеет место взаимооднозначное соответствие между элементами всех множеств: ,  и . В этом и заключается парадокс – часть равна целому! Но для этого часть должна быть бесконечным множеством.

Еще один пример.

Пример 2

Есть два отрезка:  – длинный отрезок,  – короткий отрезок.

В каком отрезке больше элементов (точек)?

Одинаково.

Почему? Потому что можно установить взаимооднозначное соответствие между всеми элементами этих множеств, этих отрезков.

Соединим концы отрезков и получим вершину.

Рис. 6. Сравнение количества точек в отрезках

Каждому элементу  большого отрезка соответствует единственный элемент  маленького отрезка. И наоборот, каждому элементу маленького отрезка  соответствует единственный элемент большого отрезка .

Таким образом, в некотором смысле число элементов у отрезка  и отрезка  одинаково.

Итог урока

Мы рассмотрели множество всех действительных чисел. Оно состоит из двух множеств: множества рациональных чисел  и множества  иррациональных чисел. Множество  замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения, деления (не на ноль), возведения в натуральную степень, извлечения корня. Это означает, что в результате действия этих операций мы снова получаем действительное число. Между множеством  всех действительных чисел и множеством всех точек координатной прямой существует взаимооднозначное соответствие. С помощью действительных чисел осуществляется счет и измерение, основные операции по применению математических методов на практике.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт YouTube (Источник)

3. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Что такое действительные числа?

2. Больше ли множество действительных чисел множества целых чисел?

3. Какие числа называются иррациональными?

4. Докажите, что  – иррациональное число.

5. Укажите, к каким числовым множествам относятся числа: , , .