Классы
Предметы

Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Основные сведения

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Основные сведения

На данном уроке мы познакомимся с таким важным понятием, как квадратный корень из неотрицательного числа. Изучение квадратных корней является ещё одним шагом к пониманию структуры чисел, которая существует в математике. До этого мы уже несколько раз преодолевали «запреты», которые изначально сами же и ставили. Так, вначале мы научились вычитать из меньших чисел большие, в результате чего появились отрицательные числа. Затем мы научились делить числа с остатком, следствием чего стало знакомство с нецелыми или дробными числами. Сегодняшний же урок позволит нам познакомиться с такими числами, которые (как мы выясним позже) нельзя представить в виде обыкновенной дроби. На этом уроке мы введём понятие квадратного корня из неотрицательного числа и научимся применять его при работе с графиками и решении простейших уравнений. 

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Часть 3. Иррациональные числа. Выводы»

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Понятие квадратного корня из неотрицательного числа. Основные понятия

1. Примеры решения простейшего квадратного уравнения

Цель данного урока – понять, что такое квадратный корень из неотрицательного числа, и в какой ситуации возникла необходимость ввести это новое понятие.

Начнём издалека. Рассмотрим параболу, то есть график функции . При изучении этого графика и его свойств, мы решали две основные задачи: 1) при заданном значении аргумента () получить соответствующее ему значение функции (); 2) при заданном значении функции () получить соответствующие ей значения аргумента ().

Вторая из этих задач и приведёт нас к введению нового понятия.

Рассмотрим следующую задачу.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

I способ

Перенесём все выражения в левую часть, получим: .

Ответ: .

II способ

Решим данное уравнение графически. Для этого нарисуем графики двух функций:  и . Пересечения этих графиков (точнее, абсциссы точек пересечения) и будут корнями данного уравнения.

Рис. 1.

Мы видим, что графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны  и . Поэтому решение уравнения будет следующим: .

Ответ: .

 Решим ещё один аналогичный пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение:

I способ

Перенесём все выражения в левую часть, получим: .

Ответ: .

II способ

Решим данное уравнение графически. Для этого нарисуем графики двух функций:  и . Пересечения этих графиков (точнее, абсциссы точек пересечения) и будут корнями данного уравнения.

Рис. 2.

Мы видим, что графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны  и . Поэтому решение уравнения будет следующим: .

Ответ: .

Как видим, пока новый термин нам не понадобился.

2. Примеры решения простейшего квадратного уравнения в неотрицательных числах

Теперь рассмотрим немного другую функцию: .

График этой функции изображён на рис. 3. (так как функция определена только при положительных значениях ).

Теперь решим следующее уравнение (систему).

 Пример 3

Решить уравнение (систему): .

Решение:

I способ

.

Ответ: .

 

Рис. 3.

II способ

Решим данное уравнение (систему) графически. Для этого нарисуем графики двух функций:  и . Пересечение этих графиков (точнее, абсцисса точки пересечения) и будет корнем данного уравнения.

Рис. 4.

Мы видим, что графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна . Поэтому решение уравнения будет следующим: .

Ответ: .

Пример 4

Решить уравнение (систему): .

Решение:

I способ

.

Ответ: .

II способ

Решим данное уравнение (систему) графически. Для этого нарисуем графики двух функций:  и . Пересечение этих графиков (точнее, абсцисса точки пересечения) и будет корнем данного уравнения.

Рис. 5.

Мы видим, что графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна 2. Поэтому решение уравнения будет следующим: .

Ответ: .

И снова видим, что новый термин не понадобился, но заметим, что решение получилось единственным и неотрицательным.

3. Возникновение понятия квадратного корня из неотрицательного числа

Рассмотрим теперь пример, который приведёт нас к возникновению понятия квадратного корня из неотрицательного числа.

Пример 5

Решить уравнение (систему): .

Решение:

I способ

.

Но мы пока не знаем, какое число в квадрате даёт нам . Может быть, такого числа не существует?

Для ответа на этот вопрос попробуем решить это уравнение (систему) вторым способом.

II способ

Решим данное уравнение (систему) графически. Для этого нарисуем графики двух функций:  и . Пересечение этих графиков (точнее, абсцисса точки пересечения) и будет корнем данного уравнения.

Рис. 6.

Мы видим, что графики пересекаются в одной точке. Значит, решение данного уравнения (системы). Корень данного уравнения (абсцисса точки пересечения) и назвали квадратным корнем из . Обозначается это число следующим образом: . Получаем, что: . Это и будет решением данного уравнения.

Ответ: .

Теперь мы уже готовы сформулировать строгое определение нового понятия.

4. Определение квадратного корня из неотрицательного числа

Определение

Квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое число неотрицательное число , квадрат которого равен : .

Рис. 7.

Поясним данное определение на примере графика  – см. рис. 6. Точка пересечения данного графика и прямой  имеет координаты  или: .

Рассмотрим примеры нахождения квадратных корней:

;

;

 – не имеет смысла, так как ;

.

5. Решение примеров и работа с графиками

Используем вновь введённое понятие для работы с графиками и решения уравнений.

Снова рассмотрим график функции . Если нам необходимо найти  – то это будет абсцисса точки пересечения с данным графиком прямой . Аналогично:  – абсцисса точки пересечения с данным графиком прямой ,  – прямой . (см. рис. 7).

Теперь рассмотрим примеры решения уравнений (систем):

1)  . При этом можно вычислять это число приближённо, пользуясь тем, что: , поэтому: . Можно точнее: , поэтому: .

2)  . При этом можно вычислять это число приближённо, пользуясь тем, что: , поэтому: .

Рис. 8.

Итак, мы рассмотрели понятие квадратного корня из неотрицательного числа, изучили задачи, из которых оно возникает, а также рассмотрели ряд примеров на вычисление простейших корней и работу с графиками.

На следующем уроке мы более детально изучим работу с квадратными корнями из неотрицательных чисел.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

2. Учеба-Легко (Источник).

 

Домашнее задание

1. №225, 232 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Исследуйте количество уравнений , в зависимости от значений параметра .

3. Решите графически уравнения: а) , б) , в) .