Классы
Предметы

Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)

На данном уроке мы познакомимся с одной из важнейших операций при работе с корнями – вынесение множителя из-под знака корня. Кроме того, мы научимся извлекать корень из квадрата положительных и отрицательных чисел. На этом уроке мы сформулируем и докажем свойства квадратных корней, связанных с вынесением множителя из-под знака корня, а также разберём ряд примеров на эти свойства.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)

1. Повторение определения и свойств квадратного корня

Напомним определение квадратного корня:

квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое число неотрицательное число , квадрат которого равен : .

Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:

.

Рассмотрим несколько примеров на вычисление корней: , т. к. ; , т. к. ; , т. к. ; .

Напомним также основные свойства квадратного корня:

1.  (). Если  и  – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

2.  (). Если  – неотрицательное число, а  – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

3.  ().

Примеры:

1. .

2. .

2. Свойство корня – вынесение множителя из-под знака корня

Докажем теперь ещё одно не менее важное свойство квадратного корня:

, т. е.: .

Доказательство:

Напомним вначале определение модуля: . Примеры: , , .

Рассмотрим два случая:

1. , т. к.  – можно пользоваться определением корня квадратного из неотрицательного числа.

2. . В этом случае: . Тогда для числа  можем воспользоваться результатами первого случая: .

Утверждение доказано

Естественным обобщением данного свойства является формула:

 .

3. Примеры решения задач на вынесение множителя из-под знака корня

Рассмотрим типовые задачи на применение указанного свойства.

Примеры:

1. 

.

2. 

.

3. 

.

4. 

.

Необходимо понимать, что во всех рассмотренных примерах значение корней всегда получается неотрицательным (несмотря на наличие перед некоторыми ответами знака . К примеру, в примере 4 ответ положительный, так как знак выражения  , а перед самим выражением стоит ещё один . Как известно, минус на минус даёт плюс.

Решим ещё несколько примеров, в которых фигурируют уже несколько переменных:

5. 

 ( – по условию,  – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).

6. 

 ( – по условию,  – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).

7. 

( – по условию,  – так как ).

8. 

 ( – по условию,  – так как ).

Итак, мы рассмотрели вынесение множителя из-под знака корня. Мы научились выносить множитель из-под корня с учётом его знака, а также решили несколько примеров.

На следующем уроке мы научимся вносить множитель под знак квадратного корня.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

2. ЕГЭ! Сдам! (Источник).

3. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (Источник).

 

Домашнее задание

1. №336-338 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Упростить выражение: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Упростить выражение: а) , б) , в) .