Классы
Предметы

Свойства квадратных корней

На данном уроке мы познакомимся со свойствами квадратных корней. Эти свойства позволяют решать многие примеры, связанные с квадратными корнями. На этом уроке мы не только сформулируем свойства квадратных корней, но и докажем их, а также решим несколько примеров.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Свойства квадратных корней

1. Повторение определения и графика функции y = √x

На этом уроке мы повторим теорию, изученную ранее, а также сформулируем и докажем свойства квадратных корней и решим несколько примеров.

Напомним определение квадратного корня:

квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен : .

К примеру: , т. к. ; , т. к. ; , т. к. .

Вспомним, как выглядит график функции . Он тесно связан с графиком функции .

Рис. 1.

График функцией :

Рис. 2.

Итак, мы вспомнили, что такое корень квадратный из неотрицательного числа (арифметический корень) и как выглядит его график.

2. Свойство корня из произведения с примерами

Квадратный корень (арифметический корень) обладает целым рядом свойств:

1.  (). Если  и  – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция  принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

Рассмотрим обобщение первого свойства:

.

Примеры:

1. .

2. .

3.  (). Если  – неотрицательное число, а  – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

3. Свойство корня из частного с примерами

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция  принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

3.  ().

4. Свойство корня из чётной степени с примерами

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция  принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

5. Примеры решения различных задач на свойства квадратного корня

Рассмотренные свойства широко используются в различных задачах.

Решим несколько примеров.

1. .

Конечно, в данном примере можно было просто вычислить квадраты указанных чисел, а затем посчитать их разность. Однако предложенный нами способ решения универсальный. А подсчёт «в лоб» станет невозможным для больших чисел.

Прежде, чем решать следующий пример, рассмотрим одну из самых распространённых и грубейших ошибок, которую часто допускают при работе с квадратными корнями.

Утверждение:  – НЕВЕРНО!!!

В качестве подтверждения рассмотрим следующий пример:

, а не: . Как видим, применение неправильной формулы приводит к неправильным результатам.

2.  .

3. .

4. 

Или: .

Итак, мы рассмотрели свойства квадратного корня из неотрицательного числа, доказали эти свойства, а также научились применять их для решения различных примеров.

На следующем уроке мы научимся решать различные более сложные задачи с помощью этих свойств.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал для всей семьи (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»  (Источник).

3. Внеклассный урок (Источник).

 

Домашнее задание

1. №226, 245, 318-323 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Вычислите: а) , б) , в) .