Классы
Предметы

Функция y=ax2 +bx + c, ее свойства и график

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Функция y=ax<sup>2</sup> +bx + c, ее свойства и график

На этом уроке мы рассмотрим тему «Функция , ее свойства и график».

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Числовые функции» и «Функции»

Функция у = ах2 + bx +c

Функция

Определения

Многочлен , где  – числа (коэффициенты, ) называется квадратным трёхчленом.

 – старший член

 – старший коэффициент

Функцию , где , называют квадратичной функцией. , b, c определяют конкретную квадратичную функцию. Например,

Уравнение  называют квадратным, если .

Задача этого урока – изучение квадратичной функции , где .

До этого урока был изучен частный случай квадратичной функции, а именно , где ,  и .

Парабола

Рис. 1. Парабола

Вершина данной параболы расположена в точке , а коэффициент  и  в первом случае ();  во втором случае ().

Чтобы перейти к общему случаю, нам следует усложнить частный случай .

Например, возьмем функцию . Если мы её усложним до , то получим полноценную квадратичную функцию: , где .

Иллюстрация к примеру

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Возьмем другой пример: , где .

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Вершина данного графика будет находиться в точке . Отсюда следует вывод, что графики  и  имеют один и тот же шаблон (параболу ), но с разным расположением вершины.

Метод выделения полного квадрата

Шаблон кривой  есть парабола .

Парабола

Рис. 4. Парабола

Доказательство основано на методе выделения полного квадрата.

Формула

Примеры

1.

2.

Пример

Иллюстрация к примеру

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Вывод подтвердился: шаблоном графика функции  есть парабола .

Метод выделения полного квадрата. Общий случай

Сначала выносим «а» за скобки:

Теперь выделим удвоенное произведение и второе число:

Затем выделим полный квадрат:

Приведем к общему знаменателю  и :

Функция имеет вид:

Парабола  является шаблоном кривой .

График функции у = ах2 + bx +c

Чтобы построить график функции  необходимо:

1. Построить параболу

2. Выполнить параллельный перенос параболы  так, чтобы её вершина  совместилась с точкой .

 – ось параболы

 

 

­

Свойства функции  аналогичны свойствам функции .

Задачи

Задача 1. Построить и прочесть график функции

Решение:

1. Найти координаты вершины.

2. Построить несколько точек (или использовать шаблон)

3. Получить искомую кривую

Иллюстрация к задаче

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Функция убывает, если . Функция возрастает, если .

Задача 2. Перечислить основные свойства

Решение:

Используем свойства

1.

2.  – не существует

3.  при ;  при

4. непрерывна

5. выпукла вниз

Задача 3.Найти все значения параметра а, при каждом из которых  имеет хотя бы одно решение.

Решение:

1.  

2. строим график функции  

Иллюстрация к задаче

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Ответ: .

Объяснение к данному ответу:

По смыслу множества значений : значения функции из , и только они, достигаются хотя бы при одном значении  из ОДЗ.

Задача 4. Определите знаки  функции  по её графику

Иллюстрация к задаче

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Решение:

1.

2.  (ветви направлены вверх)

3.  (так как )  

Ответ: .

Задача 5. Дано: ; . Найти: .

Решение:

1.

2.

3. строим график

Иллюстрация к задаче

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Ответ: .

Вывод

Итак, мы рассмотрели квадратичную функцию , где . Выяснили, что шаблоном для ее графика является парабола у = ах2.

 

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. № 22.11, 22.16, 22.19 стр. 140–141. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Fxyz.ru  (Источник).
  2. Интернет-портал Fgraphiks.narod.ru  (Источник).
  3. Интернет-портал School.xvatit.com  (Источник).