Классы
Предметы

Графическое решение квадратных уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Графическое решение квадратных уравнений

На этом уроке мы рассмотрим тему «Графическое решение квадратных уравнений»

Введение

Уравнение вида  = 0, где а ≠ 0 называется квадратным. Если же а = 0, то у нас будет линейное уравнение, а на данном уроке мы их не рассматриваем.

Функция , где а ≠ 0 называется квадратичной функцией. Графиком этой функции является парабола. Если a > 0, то ветви данной параболы направлены вверх. Если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз. Шаблоном для данной параболы является парабола .

Координаты вершины:

 =

  = -

Единственный метод, которым сейчас можем решить квадратное уравнение, – это графический метод, который и рассмотрим в следующем примере.

Пример 1 (оба метода)

Решить уравнение  = 0

Решение:

Построим график функции

Шаблоном является график функции

Получаем график :

Иллюстрация к примеру

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Итак, мы построили график функции у = x2. Для того чтобы построить график функции , надо сдвинуть вершину графика. Чтобы понять, куда ее сдвинуть, есть 2 способа:

1й способ. Вычислим , а потом  (а = 1; b = 2; c = -3)

   =  = -1

 = (-1)2 + 2 ∙ (-1) – 3 = -4

Так как мы знаем теперь координаты вершины параболы (-1; -4), то теперь помещаем вершину туда и получаем график искомой параболы (которая будет пересекаться с осью Охв точках (-3; 0) и (1; 0) .

Иллюстрация к примеру, второй способ

Рис. 2. Иллюстрация к примеру, второй способ

Корнями же уравнения будет точки пересечения с осью Ох.

Проверим:

 тогда 12 +2 ∙1 -3 = 0                          0 = 0 (1 – корень данного уравнения)

 тогда (-3)2 + 2 ∙ (-3) – 3 = 0             0 = 0 (-3 – корень данного уравнения)

Ответ:  и  

Известно, что любая прямая (включая и ось Ох) рассекает параболу в 2х точках. Эти точки мы и предъявили, значит, задача решена правильно.

2й способ. Он заключается в выделении полного квадрата.

 

 

Чтобы учесть 1, нужно сдвинуть исходную параболу на 1 единицу влево, а для учета 4 нам надо сдвинуть параболу на 4 единицы вниз. И мы получим график исходной функции. Далее мы выполняем действия, упомянутые в 1м способе. Ответ также будет  и .

Пример 2

Рассмотрим иной способ решения того же уравнения:

Решить уравнение

 

Строим графики функций  и

Как построить график функции  уже известно (его шаблоном будет парабола).

А график функции  строим с помощью таблицы:

х

0

 у

3

0

                   
Тогда рисуем графики :

Иллюстрация к примеру

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Аккуратный чертеж показывает, что графики функций пересекаются в точках с абсциссами 1 и -3. При проверке мы подтверждаем, что решением являются  и .

Ответ: х = -3 и х = 1.

Преимущество данного способа в том, мы строили самую простую из всех возможных парабол. Однако нам пришлось также строить график линейной функции, но он строится несложно. Затем получили 2 точки пересечения, определили абсциссы, которые надо проверить.

Способы графического решения квадратных уравнений

Рассмотрим уравнение в общем виде  = 0, где

Для решения данного уравнения необходимо:

1-й способ (построить график всей функции)

а) Надо построить параболу функции , используя шаблон .

б) Найти точки пересечения с осью Ох и взять их абсциссы .

Иллюстрация к примеру б)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру б)

в) Осуществить проверку взятых абсцисс методом подставления их в уравнение и выписать ответ.

2-й способ (уединить член с )

а) Видоизменить уравнение за счет уединения : .

б) Построить параболу  и прямую .

Иллюстрация к примеру б)

Рис. 5. Иллюстрация к примеру б)

в) Найти абсциссы точек пересечения графиков .

г) Осуществить проверку взятых абсцисс методом подставления их в уравнение и выписать ответ .

Замечания:

а) , так как уравнение можно умножить на -1 почленно;

б) прямая пересекает параболу не более чем в 2-х точках.

Общая характеристика графического способа

Из положительных моментов стоит отметить, что графический метод позволяет решить такие уравнения, которые мы не можем решить аналитически.

Среди недостатков выделяют то, что надо считывать, почти угадывать абсциссы (приближенность метода – его минус).

 

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. № 23.4, 23.7, 23.8 стр. 145. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Fxyz.ru  (Источник).
  2. Интернет-портал Festival.1september.ru  (Источник).
  3. Интернет-портал Unimath.ru  (Источник).