Классы
Предметы

Ещё одна формула для корней квадратных уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Ещё одна формула для корней квадратных уравнений

На данном уроке мы рассмотрим ещё одну формулу для корней квадратного уравнения. Эта формула применяется в тех случаях, когда коэффициент  легко делится на 2.

Вывод упрощённой формулы для корней квадратного уравнения

Рассмотрим квадратное уравнение .

Мы уже знаем формулу для корней квадратного уравнения: .

Рассмотрим случай, когда коэффициент  легко делится на 2. Тогда: . Подставим это выражение в исходную формулу:

.

Если теперь обратно подставить , то получим: .

Основное преимущество этой формулы состоит в том, что она упрощает вычисления (в 2 или в 4 раза).

Если вернуться к исходному уравнению, то можно вспомнить о дискриминанте: , тогда под корнем в этой формуле стоит выражение: . Тогда ещё одна формула для корней квадратного уравнения выглядит следующим образом: .

Рассмотрим несколько примеров на применение полученной формулы.

Пример на применение выведенной формулы

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение

Выпишем коэффициенты данного уравнения: .

Теперь применим полученную формулу: .

Ответ: .

Рассмотрим ещё один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

Выпишем коэффициенты данного уравнения: .

Теперь применим полученную формулу: .

При желании можно сократить на  и числитель, и знаменатель. Однако в этом случае в знаменателе появится иррациональность, от которой обычно просят избавляться.            Поэтому оставим ответ в таком виде.   

Ответ: .

Более сложные примеры на применение выведенной формулы

Теперь рассмотрим пример решения квадратного уравнения с параметром.

Пример 3

Решить уравнение: .

Решение

Перепишем данное уравнение в виде: . В данном случае: .

Теперь запишем полученную нами формулу для корней квадратного уравнения (несмотря на присутствие параметра, коэффициент  всё равно «хорошо» делится на 2).

.

Ответ: .

При решении данного уравнения могут возникать дополнительные вопросы.

Например:

1. Может ли у данного уравнения не быть корней? Ответ: нет, так как . То есть, наше уравнение всегда имеет два корня, причём различных.

2. Может ли у данного уравнения быть один корень? Ответ: нет. См. пояснение к предыдущему вопросу. Можно ответить на этот вопрос по-другому:  – невозможно.

3. При каких значениях параметра  уравнение имеет 2 различных корня? Ответ: при всех значениях. См. пояснение к первому вопросу. Можно пояснить ответ на этот вопрос следующим образом: , то есть у уравнения всегда будет 2 корня, один из которых на 4 больше второго.

На этом уроке мы вывели и научились пользоваться ещё одной формулой для корней квадратного уравнения.

На следующем уроке мы познакомимся с теоремой Виета.

 

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение. 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

  

Домашнее задание

  1. Решить уравнение: а) ; б) ; в) .
  2. Решить уравнение: а) ; б).
  3. № 449–452. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал School.xvatit.com (Источник).
  2. Интернет-портал Edu.dvgups.ru (Источник).
  3. Интернет-портал Dpva.info (Источник).