Классы
Предметы

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Задачи на движение

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Задачи на движение

На данном уроке мы приступим к изучению очень важной темы. Мы научимся решать различные текстовые задачи, которые сводятся к квадратным уравнениям. Мы будем рассматривать рациональные уравнения как модели реальных ситуаций. Начнем мы с решения различных задач на движение.

1 этап (составление математической модели) в задачах на движение

Мы уже знаем, что рациональные уравнения могут служить моделями реальных ситуаций. Но раньше эти ситуации сводились к линейным уравнениям. Сейчас мы рассмотрим ситуации, которые сводятся к решению квадратных уравнений.

Рассмотрим задачу на движение.  

Задача 1

Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 минут, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 , чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 минут. С какой скоростью должен был пройти поезд перегон по расписанию?

Решение:

Решение задачи сводится к нескольким этапам.       

1 этап – Составление математической модели

По расписанию: пусть  – скорость поезда по расписанию. Длина перегона: . Для равномерного прямолинейного движения верна формула:

Тогда время, за которое поезд должен был пройти перегон по расписанию, выражается следующим образом: .

Фактически: скорость поезда была увеличена, то есть была равна . Длина перегона осталась той же: .

Тогда время, за которое поезд реально проехал перегон, выражается следующим образом: .

Разность между временем по расписанию и фактическим временем и равна тем 5 минутам, которые простоял поезд на семафоре. Кроме того, важно помнить, что поскольку все величины в задаче измеряются в километрах и часах, то и минуты необходимо перевести в часы. Важно помнить, что . Получаем следующее уравнение:

2 этап (работа с математической моделью) в задачах на движение

2 этап – Работа с математической моделью

Решим полученное уравнение: . Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, а затем приведем их к общему знаменателю.

Умножим обе части уравнения на , получим:

Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Выпишем коэффициенты первого уравнения: . Вычисляем дискриминант: .

Тогда корни уравнения будут следующими: . Оба этих числа удовлетворяют второму неравенству нашей системы.

3 этап (ответ на поставленный вопрос) в задачах на движение

3 этап – Ответ на вопрос задачи

Так как за  мы обозначали скорость, а скорость не может быть отрицательной, то единственным вариантом ответа остается 80 .

Ответ: .

Таблица для решения текстовых задач

Выполнив все три этапа, мы: получили математическую модель; решили полученное уравнение; отобрали корни, которые нам нужны.

Как видно из решения данной задачи, самый сложный этап – составление математической модели.

В этом может помочь следующая таблица (в нашей задаче 1 участник – поезд, но 2 случая: фактическое движение и движение по расписанию):

 

Планируемое движение

Фактическое движение

Данная таблица помогает осмыслить задачу и составить соответствующее уравнение.

Пример решения задачи на движение по реке

Рассмотрим еще один пример.

Задача 2

Пристани А и В расположены по реке, причем В на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошел путь из А в В и обратно за 8 часов 20 минут. За какое время катер проходит путь из А в В и за какое – из В в А, если его скорость в стоячей воде равна ?

Решение

Пусть  – скорость течения реки, тогда:

 – скорость по течению реки;

 – скорость против течения реки.

Путь, который проходит катер между пристанями, равен . То есть, .

Тогда время, которое затратит катер на движение по течению реки, равно:

Против течения:

Общее время вычисляется по формуле:

.

Получаем следующее уравнение:

Это уравнение легко решается (переносим все выражения в левую часть, приводим их к общему знаменателю):

Так как скорость течения не может быть отрицательной, то скорость течения равна .

Тогда время, которое катер потратил на движение по течению реки: .

А время, которое катер потратил на движение против течения реки: .

Составим таблицу для данной задачи:

 

По течению реки:

Против течения реки:

С помощью этой таблицы также можно легко составить уравнение для решения данной задачи.

На этом уроке мы научились составлять математические модели для задач на движение.

На следующем уроке мы научимся моделировать и другие текстовые задачи.

 

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Easyen.ru (Источник).
  2. Mmmf.msu.ru (Источник).
  3. Pedsovet.su.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Из пункта А вышел пешеход, а через 1 час 40 минут после этого в том же самом направлении выехал велосипедист, который догнал пешехода на расстоянии 12 км от пункта А. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если за 2 часа пешеход проходит на 1 км меньше, чем велосипедист проезжает за 1 час.
  2. Велосипедист съездил из села на станцию и вернулся назад. На обратном пути он увеличил скорость на 1  в сравнении с движением на станцию и потратил на него на 8 минут меньше. С какой скоростью ехал велосипедист на станцию, если расстояние между селом и станцией 32 км?
  3. Катер проплыл 9 км по течению реки и 1 км против течения за то же время, за какое плот проплывает 4 км по этой реке. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна ?