Классы
Предметы

Теорема Виета

На этом уроке учащиеся смогут узнать об одной из основных теорем в алгебре многочленов – теореме Виета. Мы узнаем ее определение, рассмотрим, как ее можно применять для решения различных задач.

Введение

Французский математик Франсуа Виет, изучая квадратные уравнения, обнаружил изящную связь между корнями уравнения и его коэффициентами. Теорема Виета – цель нашего урока.

Вспомним.

Квадратным называется уравнение вида: , где .

Уравнение можно почленно разделить на :

Цель – получить приведенное квадратное уравнение:

; ,

Вспомним формулу корней квадратного уравнения:

;

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

Теорему Виета сформулируем для приведенного квадратного уравнения:

Числа ,  являются корнями уравнения  тогда и только тогда, когда пара  является решением системы:

Теорема Виета утверждает, что квадратное уравнение и система одновременно разрешимы или неразрешимы.

Корни уравнения дают все решения системы . И наоборот, все решения системы дают корни уравнения.

Система симметрическая относительно  и , т. е. если пара  является решением, то пара  тоже является решением. Потому что система не изменится, если в системе  и  мы поменяем местами, а значит, в формулировке теоремы мы можем заменить пару  на пару .

Докажем теорему Виета.

Дано: ,  – корни уравнения .

Доказать: .

Доказательство

Итак, мы знаем формулу корней квадратного уравнения:

,

Сложим их:

Первое равенство системы доказано.

Если  и  удовлетворяют уравнению, то их сумма равняется .

Перемножим  и :

Числитель мы сократили по формуле разности квадратов.

Вспомним, что такое дискриминант.

Подставим:

Что и требовалось доказать.

Итак, первая часть теоремы Виета доказана. Если  и  – корни квадратного приведенного уравнения, то они удовлетворяют системе .

Продолжим доказательство.

Дано:  – решение системы .

Доказать: ,  – корни уравнения .

Доказательство

Мы имеем:

Итак, мы доказали, что если выполняются требования системы, то  – корень квадратного уравнения, но так как наша система симметрична, то можно  заменить на  и наоборот. Значит: , т. е.  тоже корень уравнения .

Итак, в обратную сторону теорема доказана.

А именно, доказано, что если числа  и  образуют пару, которая удовлетворяет системе , то эти числа являются корнями квадратного уравнения. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения доказана полностью.

Теорема Виета для неприведенного квадратного уравнения

Вспомним, что , .

Числа ,  являются корнями уравнения  тогда и только тогда, когда пара  является решением системы:

Рассмотрим эти соотношения.

Нарисуем оси координат. Предположим, что , т. е. ветви параболы направлены вверх. Предположим, что дискриминант , имеются два корня,  и , и есть ось симметрии у параболы. Вспомним, что  или  (если есть корни). В терминах , это записывается так:

То есть первое уравнение  отражает симметрию параболы относительно прямой  (см. Рис. 1).

Симметрия параболы

Рис. 1. Симметрия параболы

Что показывает второе уравнение ?

Оно показывает, каковы знаки у корней.

Если , то корни одного знака.

Если , то корни разных знаков.

Мы доказали теорему Виета. Но чем же она хороша?

Во-первых, она иногда позволяет относительно просто решить само уравнение.

Пример 1

Решите уравнение .

Решение

Это уравнение можно решить через дискриминант, но это довольно утомительно.

Подметим особенность этого уравнения. Если  мы опустим, то получим .

Значит,  – это очевидный корень уравнения.

Но если мы знаем один корень, то легко найдем и второй корень.

Но так как первый корень нам уже известен, то:

Ответ: , .

Итак, мы нашли корни уравнения по теореме Виета.

Давайте посмотрим, что нам надо было бы сделать, если бы мы захотели решить эту задачу через дискриминант:

Разница в удобстве решения очевидна.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решите уравнение .

Решение

Это задание можно решить двумя способами.

1 способ (через дискриминант):

, ;

2 способ (теорема Виета):

Тут очень просто подобрать корни:

, ;

Ответ: , .

Здесь теорема Виета дала способ подбора корней.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3

Определите число корней и знаки корней уравнения .

Решение

Для того чтобы решить эту задачу, нам даже не нужно решать само уравнение.

Чтобы узнать, сколько корней в уравнении, найдем дискриминант.

 – значит, имеем два корня: .

Первую часть задачи мы решили.

Для определения знаков корней привлекаем теорему Виета:

 – произведение корней – отрицательное число, соответственно, корни уравнения разных знаков.

Итак, теорема Виета дала нам возможость определить знаки корней уравнения.

Ответ: 2 корня разных знаков.

Заключение

Итак, мы доказали и обсудили важную теорему – теорему Виета. Привели задачи на ее применение.

 

Список литературы

  1. Баш­ма­ков М.И. Ал­геб­ра 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2004.
  2. До­ро­фе­ев Г.В., Су­во­ро­ва С.Б., Бу­ни­мо­вич Е.А. и др. Ал­геб­ра 8. 5-е изд. – М.: Про­све­ще­ние, 2010.
  3. Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Yaklass.ru (Источник).
  2. Dist-tutor.info (Источник).
  3. Mathematics-repetition.com (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Дано квадратное уравнение  укажите сумму и произведение корней.
  2. Корнями квадратного уравнения  являются -13 и 2.Чему равны коэффициенты  и ?
  3. Решите уравнение .