09. Приближённые значения действительных чисел

Введение

Различают: 

N {1; 2; 3; …} – натуральные числа

Z {0; ±1; ±2; …} – целые числа

Q {±; ±4; …; n ∈ N; m ∈ Z} – рациональные числа

N ⊂ Z ⊂ Q

Выясним, что такое рациональное число. Например,

  …

 = 0,333… = 0,(3)

 = 1

 = 1,2(0)
Рациональное число может быть представлено в десятичном виде. Это бесконечная десятичная дробь, но периодическая, и десятичное представление данного числа – единственное.

Надо уметь переходить от одной формы представления числа к другой.

Иррациональные числа

Существуют также нерациональные, или иррациональные, числа, которые не представимы в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число – это бесконечная, непериодическая десятичная дробь. Для обозначения действительного числа существуют различные символы, буквы. Например,  ≠; π; x

Для работы с такими иррациональными числами их приближают близкими рациональными числами.

Пример 1

 = 1,414…

Выпишем приближенные значения данного числа:

 ≈ 1,4              1,42 = 1,96

 ≈ 1,41            1,412 = 1,9881 ≈ 2

 ≈ 1,42            1,422 = 2,0164 ≈ 2

Итак, имеет бесконечное число знаков, выписать которые невозможно. Для работы с его приближают указанные выше приближения, и при возведении в квадрат, мы получаем 2 с недостатком или избытком.

Проверим:

Мы видим, что точка М (1,414) ближе к точке А (), чем точки В (1,4) и С (1,41).

Погрешность приближения

Возможно приближение по недостатку и избытку.

Например, 1,41 ≈, но 1,41 < (по недостатку)

1,42 ≈, но 1,42 > (по избытку).

Определение:

Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называется модуль разности между точным значением величины х и её приближенным значением величины а ().

Пример.

 ≈ 1,4; = – абсолютная погрешность (длина AB)

≈ 1,42; абсолютная погрешность (длина DA)

Правило округления

Когда нужно брать приближение по недостатку, а когда – по избытку? Ответ находится в правиле округления.

Правило округления

Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно брать приближение по недостатку; если первая отбрасываемая цифра ≥5, то нужно брать приближение по избытку.

Пример.

1.≈ 1,41

Это приближение по правилу округления, и оно более точное.

2. ≈ 1,42

Это приближение по правилу округления, и оно менее точное.
Действовать надо отталкиваясь от правила округления.

Откуда взялось и

 – это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1.

Число еще в III в. до н.э. Архимед опытным путем установил и доказал, что в окружности отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная. Это отношение,, и обозначается числом . Отсюда следует, что l (длина окружности) = .

Установили, что π – число иррациональное. Оно равно:

π ≈3,141592…

Наша задача – взять приближенное значение данного числа. В этом нам поможет еще одно важное определение.

Определение:

Если a – приближенное значение числа x и ≤ h, то говорят, что погрешность приближения не превосходит h, или что число x равно с точностью до h.

Пример. π ≈3,141592

Используя правило округления

1. π ≈3,142 – с точностью до 0,001

2. π ≈3,14 – с точностью до 0,01

3. Архимед установил, что

Доказано:

 – приближение числа π с точностью до 0,002.

То есть, ≤ 0,002

4. π ≈3,14 с точностью до 0,01

Это значит, что

Вывод

Мы рассмотрели приближение действительных чисел, выяснили, какие числа в первую очередь надо приближать. Это иррациональные числа, потому что их запись – это бесконечное число десятичных знаков. Иррациональное число – это бесконечная, непериодическая десятичная дробь. Мы подробно рассмотрели и π. Приближение остальных иррациональных чисел осуществляется таким же образом.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

1. Найдите приближенное значение числа;

   № 35.1, 35.3, 35.4, 35.11 стр. 204–205. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urokimatematiki.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «unimath.ru» (Источник).