Классы
Предметы

Приближенные значения действительных чисел

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Приближенные значения действительных чисел

На этом уроке мы рассмотрим тему «Приближенные значения действительных чисел». В нем вспомним основные сведения о действительных числах и выясним, какие из них, зачем и как надо приближать.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Точность и округление»

Введение

Различают:

N {1; 2; 3; …} – натуральные числа

Z {0; ±1; ±2; …} – целые числа

Q {±; ±4; …; n ∈ N; m ∈ Z} – рациональные числа

N ⊂ Z ⊂ Q

Выясним, что такое рациональное число. Например,

  …
 = 0,333… = 0,(3)

 = 1  = 1,2(0)
Рациональное число может быть представлено в десятичном виде. Это бесконечная десятичная дробь, но периодическая, и десятичное представление данного числа – единственное.

Надо уметь переходить от одной формы представления числа к другой.

Иррациональные числа

Существуют также нерациональные, или иррациональные, числа, которые не представимы в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число – это бесконечная, непериодическая десятичная дробь. Для обозначения действительного числа существуют различные символы, буквы. Например,
 ≠ ; π; x

Для работы с такими иррациональными числами их приближают близкими рациональными числами.

Пример 1

 = 1,414…

Выпишем приближенные значения данного числа:

 ≈ 1,4              1,42 = 1,96

 ≈ 1,41            1,412 = 1,9881 ≈ 2

 ≈ 1,42            1,422 = 2,0164 ≈ 2

Итак,  имеет бесконечное число знаков, выписать которые невозможно. Для работы с  его приближают указанные выше приближения, и при возведении  в квадрат, мы получаем 2 с недостатком или избытком.

Проверим (рис. 1):

Числовая ось

Рис. 1. Числовая ось

Мы видим, что точка М (1,414) ближе к точке А (), чем точки В (1,4) и С (1,41).

Погрешность приближения

Возможно приближение по недостатку и избытку.

Например,

1,41 ≈ , но 1,41 <  (по недостатку)

1,42 ≈ , но 1,42 >  (по избытку).

Определение:

Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называется модуль разности между точным значением величины х и её приближенным значением величины а ().

Пример.  ≈ 1,4;  =  – абсолютная погрешность (длина AB)

≈ 1,42;  абсолютная погрешность (длина DA) (рис. 2)

Погрешности на числовой оси

Рис. 2. Погрешности на числовой оси

Правило округления

Когда нужно брать приближение по недостатку, а когда – по избытку? Ответ находится в правиле округления.

Правило округления

Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно брать приближение по недостатку; если первая отбрасываемая цифра ≥5, то нужно брать приближение по избытку.

Пример.

1. ≈ 1,41

Это приближение по правилу округления, и оно более точное.

2.  ≈ 1,42

Это приближение по правилу округления, и оно менее точное.
Действовать надо отталкиваясь от правила округления.

Откуда взялось  и π

 – это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1.

Число π еще в III в. до н.э. Архимед опытным путем установил и доказал, что в окружности отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная. Это отношение, , и обозначается числом π. Отсюда следует, что  (длина окружности) = 2πR.

Установили, что π – число иррациональное. Оно равно:

π ≈3,141592…

Наша задача – взять приближенное значение данного числа. В этом нам поможет еще одно важное определение.

Определение:

Если  – приближенное значение числа  и  ≤ h, то говорят, что погрешность приближения не превосходит h, или что число  равно с точностью до h.

Пример. π ≈3,141592

Используя правило округления

1. π ≈3,142 – с точностью до 0,001

2. π ≈3,14 – с точностью до 0,01

3. Архимед установил, что

Доказано:  – приближение числа π с точностью до 0,002.

То есть,  ≤ 0,002

4. π ≈3,14 с точностью до 0,01

Это значит, что

Вывод

Мы рассмотрели приближение действительных чисел, выяснили, какие числа в первую очередь надо приближать. Это иррациональные числа, потому что их запись – это бесконечное число десятичных знаков. Иррациональное число – это бесконечная, непериодическая десятичная дробь. Мы подробно рассмотрели  и π. Приближение остальных иррациональных чисел осуществляется таким же образом.

 

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. Найдите приближенное значение числа ;
  2. № 35.1, 35.3, 35.4, 35.11 стр. 204–205. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Urokimatematiki.ru  (Источник).
  2. Интернет-портал Unimath.ru  (Источник).
  3. Интернет-портал Yaklass.ru  (Источник).