Классы
Предметы

Решение квадратных неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение квадратных неравенств

На данном уроке будет рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнаете, что решение квадратных неравенств полностью базируется на свойствах квадратичных функций.

Что такое квадратное неравенство

Квадратными называются неравенства вида

Причем важно, что старший коэффициент не может быть равен нулю: .

Пример №1

Решить неравенство:

Умножаем обе части неравенства на , чтобы старший коэффициент стал числом положительным. Получаем:

Так, мы видим, что любое квадратное неравенство можно преобразовать таким образом, чтобы старший коэффициент был положительным, поэтому будем рассматривать квадратные неравенства для случая .

Итак, решим заданное неравенство для положительного старшего коэффициента:

Рассмотрим функцию: , применяем теорему Виета,

Раскладываем на линейные множители:

Построим график функции (Рис. 1):

Рис. 1. График квадратичной функции

Рис. 1. График квадратичной функции

I способ решения неравенства

 Произведение двух скобок – число отрицательное.

Произведение двух чисел отрицательное тогда, когда они разных знаков.

Если , тогда  или , тогда

Исходное неравенство распалось на совокупность двух линейных систем.

 или

Проиллюстрируем решение первой системы неравенств (рис. 2):

Рис. 2. Решение системы линейных неравенств

Рис. 2. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Нас интересуют те значения, которые удовлетворят одновременно и первому неравенству, и второму. Очевидно, что это множество значений находится там, где присутствуют оба цвета. Так, решение первой системы:

Проиллюстрируем решение второй системы (Рис. 3):

Рис. 3. Решение системы линейных неравенств

Рис. 3. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Аналогично первой системе, ищем решение второй системы там, где присутствуют оба цвета. Очевидно, что вторая система решений не имеет.

Ответ:

II способ решения неравенства. По графику функции получаем ответ. Очевидно, что вне корней функция положительна (график расположен над осью ), а внутри интервала корней функция отрицательна (график расположен под осью ). Так, заданное неравенство выполняется для всех , лежащих в интервале между корнями квадратного трехчлена:

Но корни квадратного трехчлена существуют не всегда, мы знаем, что два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант его положителен.

Пример №2

Решить неравенства: 1) ; 2)

Построим график функции (Рис. 4):

Рис. 4. График квадратичной функции

Рис. 4. График квадратичной функции

Везде функция положительна, и только в одной точке она равна нулю (рис. 4).

1.  или

2. 

  нет решений

 

Пример №3

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции равен нулю, значит, трехчлен раскладывается в полный квадрат.

Построим график функции (Рис. 5)

Рис. 5. График квадратичной функции

Рис. 5. График квадратичной функции

Функция везде положительная и только в одной точке при , она равна нулю.

Решить неравенства:

. Решением являются все значения , кроме . Ответ: или

 Решение неравенства:

 Нет решений. Квадрат числа не может быть отрицательным числом.

 Решение неравенства

Пример №4

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции больше нуля..

Корнями здесь являются:

График этой функции – парабола (Рис. 6). Вне интервала корней парабола находится над осью , а значит, функция положительна. Внутри интервала корней парабола расположена под осью . Значит, функция при всех этих  отрицательна. В точках  функция равна нулю.

Рис. 6. График квадратичной функции

Рис. 6. График квадратичной функции

Рассмотрим все возможные неравенства, которые нам может предложить эта функция:

1.; искомые значения находятся вне интервала корней, причем границы входят в ответ, т. к. допускается равенство нулю квадратного трехчлена. Решение неравенства:  или

2.; искомые значения находятся внутри интервала корней, причем границы не входят в ответ. Решение .

Пример №5

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции меньше нуля. . Функция не имеет корней

График функции:

График этой функции – парабола,  ветви ее направлены вверх, она не соприкасается с осью Х, т. е. на всей оси, при всех значениях х функция – величина положительная (Рис. 7).

Рис. 7. График квадратичной функции

Рис. 7. График квадратичной функции

Выделим полный квадрат: . Если квадрат числа – величина неотрицательная, то  при всех значениях

Рассмотрим все возможные неравенства, функции, где .

1. . Решение:

2. . Нет решений.

Пример №6

Рассмотрим решение неравенства, которое сводится к квадратному.

. Найти множество значений, при которых эта функция имеет смысл.

Решение неравенства:

Рассмотрим функцию: . Корни равны  Изучим её свойства. Для этого схематически построим её график (Рис. 8).

Рис. 8. График квадратичной функции

Рис. 8. График квадратичной функции

Функция положительна вне интервала корней и отрицательна внутри интервала корней.

 при  или

Ответ:  или

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнали, что решение квадратных неравенств полностью базируется на решении квадратичных функций.

 

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. ЕГЭ по математике (Источник).
  2. Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
  3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
  4. Видеоуроки для школьников (Источник).

 

 Домашнее задание

  1. Решить неравенство:
  2. На чем базируется решение квадратных неравенств?
  3. №540, 556. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.