Классы
Предметы

Решение квадратных неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение квадратных неравенств

На данном уроке будет рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнаете, что решение квадратных неравенств полностью базируется на свойствах квадратичных функций.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Что такое квадратное неравенство

Квадратными называются неравенства вида

Причем важно, что старший коэффициент не может быть равен нулю: .

Пример №1

Решить неравенство:

Умножаем обе части неравенства на , чтобы старший коэффициент стал числом положительным. Получаем:

Так, мы видим, что любое квадратное неравенство можно преобразовать таким образом, чтобы старший коэффициент был положительным, поэтому будем рассматривать квадратные неравенства для случая .

Итак, решим заданное неравенство для положительного старшего коэффициента:

Рассмотрим функцию: , применяем теорему Виета,

Раскладываем на линейные множители:

Построим график функции (Рис. 1):

Рис. 1. График квадратичной функции

Рис. 1. График квадратичной функции

I способ решения неравенства

 Произведение двух скобок – число отрицательное.

Произведение двух чисел отрицательное тогда, когда они разных знаков.

Если , тогда  или , тогда

Исходное неравенство распалось на совокупность двух линейных систем.

 или

Проиллюстрируем решение первой системы неравенств (рис. 2):

Рис. 2. Решение системы линейных неравенств

Рис. 2. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Нас интересуют те значения, которые удовлетворят одновременно и первому неравенству, и второму. Очевидно, что это множество значений находится там, где присутствуют оба цвета. Так, решение первой системы:

Проиллюстрируем решение второй системы (Рис. 3):

Рис. 3. Решение системы линейных неравенств

Рис. 3. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Аналогично первой системе, ищем решение второй системы там, где присутствуют оба цвета. Очевидно, что вторая система решений не имеет.

Ответ:

II способ решения неравенства. По графику функции получаем ответ. Очевидно, что вне корней функция положительна (график расположен над осью ), а внутри интервала корней функция отрицательна (график расположен под осью ). Так, заданное неравенство выполняется для всех , лежащих в интервале между корнями квадратного трехчлена:

Но корни квадратного трехчлена существуют не всегда, мы знаем, что два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант его положителен.

Пример №2

Решить неравенства: 1) ; 2)

Построим график функции (Рис. 4):

Рис. 4. График квадратичной функции

Рис. 4. График квадратичной функции

Везде функция положительна, и только в одной точке она равна нулю (рис. 4).

1.  или

2. 

  нет решений

 

Пример №3

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции равен нулю, значит, трехчлен раскладывается в полный квадрат.

Построим график функции (Рис. 5)

Рис. 5. График квадратичной функции

Рис. 5. График квадратичной функции

Функция везде положительная и только в одной точке при , она равна нулю.

Решить неравенства:

. Решением являются все значения , кроме . Ответ: или

 Решение неравенства:

 Нет решений. Квадрат числа не может быть отрицательным числом.

 Решение неравенства

Пример №4

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции больше нуля..

Корнями здесь являются:

График этой функции – парабола (Рис. 6). Вне интервала корней парабола находится над осью , а значит, функция положительна. Внутри интервала корней парабола расположена под осью . Значит, функция при всех этих  отрицательна. В точках  функция равна нулю.

Рис. 6. График квадратичной функции

Рис. 6. График квадратичной функции

Рассмотрим все возможные неравенства, которые нам может предложить эта функция:

1.; искомые значения находятся вне интервала корней, причем границы входят в ответ, т. к. допускается равенство нулю квадратного трехчлена. Решение неравенства:  или

2.; искомые значения находятся внутри интервала корней, причем границы не входят в ответ. Решение .

Пример №5

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции меньше нуля. . Функция не имеет корней

График функции:

График этой функции – парабола,  ветви ее направлены вверх, она не соприкасается с осью Х, т. е. на всей оси, при всех значениях х функция – величина положительная (Рис. 7).

Рис. 7. График квадратичной функции

Рис. 7. График квадратичной функции

Выделим полный квадрат: . Если квадрат числа – величина неотрицательная, то  при всех значениях

Рассмотрим все возможные неравенства, функции, где .

1. . Решение:

2. . Нет решений.

Пример №6

Рассмотрим решение неравенства, которое сводится к квадратному.

. Найти множество значений, при которых эта функция имеет смысл.

Решение неравенства:

Рассмотрим функцию: . Корни равны  Изучим её свойства. Для этого схематически построим её график (Рис. 8).

Рис. 8. График квадратичной функции

Рис. 8. График квадратичной функции

Функция положительна вне интервала корней и отрицательна внутри интервала корней.

 при  или

Ответ:  или

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнали, что решение квадратных неравенств полностью базируется на решении квадратичных функций.

 

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. ЕГЭ по математике (Источник).
  2. Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
  3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
  4. Видеоуроки для школьников (Источник).

 

 Домашнее задание

  1. Решить неравенство:
  2. На чем базируется решение квадратных неравенств?
  3. №540, 556. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.