Классы
Предметы

Свойства числовых неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Свойства числовых неравенств

Данный урок посвящён теме «Свойства числовых неравенств». В ходе этого занятия вы вспомните определение неравенства. Сможете получить представление об основных свойствах числовых неравенств, которые впоследствии пригодятся для решения задач.

Что такое неравенство

Что такое числовое неравенство.

Вспомним, что означают неравенства:  и :

 означает, что и  означает, что

Вывод: число  считается большим числа b, если разность  является положительным числом. Число  считается меньше числа b, если разность  является отрицательным числом.

Геометрическая интерпретация.

 

Если точка с координатой  находится правее, чем точка с координатой b, значит число  . И наоборот. Не всегда очевидна алгебраическая запись, поэтому геометрическая интерпретация часто помогает. С положительными числами это очевидно, а с отрицательными лучше пользоваться расположением этих чисел на числовой оси.

Свойства числовых неравенств.

Свойство неравенств №1

Если , то

Доказательство: Поскольку по условию , то разницы и  являются положительными числами. Тогда положительной будет и их сумма  Имеем: .Таким образом, разница  – положительное число, и отсюда следует, что .

Свойство неравенств №2

Если  и с – любое число, то .

Доказательство:

Рассмотрим разность Имеем: . Поскольку по условию , то разность  – положительное число и . Что и требовалось доказать.

Свойство неравенств №3

Если  и c – положительное число, то . И если  и c – отрицательное число, то .

Доказательство:

Рассмотрим разность Имеем:. Поскольку по условию , то разность  – положительное число. Если  , то произведение  – положительное число, и разность  положительная , т. е..

Если  , то произведение  – отрицательное число, и разность  отрицательная, т. е. 

Пример: , умножим обе части неравенства на 2 и получим , но если обе части неравенства умножить на -2, то знак неравенства поменяется на противоположный: .

Действия с неравенствами

Свойство 4.

.Т. е. любые неравенства одного знака можно складывать.

Свойство 5.

Рассмотрим перемножение неравенств.

Если все числа положительные, то их можно перемножить, и получим . Если умножать на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.

Свойство 6.

Рассмотрим возведение в степень неравенств.

и тогда .

Пример №1

Даны два положительных числа и . Доказать, что их обратные величины связаны противоположным неравенством:

Решение. Перенесем в одну сторону и выполним необходимые действия.

 

Так как даны положительные числа и то нужно убедиться, что  . Чтобы дробь была отрицательным числом, надо, чтобы числитель был отрицательным числом. Умножаем  на -1 и получаем .

Пример №2

Дано: 

а) Оценить число

Решение: Обе части неравенства умножаем на 2. Тогда . Задача решена.

б) Оценить число -3

Решение: будет меняться в пределах . Умножаем неравенство на 3. Получаем ;

в) Oценить разность

Решение:  . Неравенства одного знака можно складывать. Получаем:

 

Ответ:

Пример №3

Дано:

Решение: Переносим все в одну сторону.. Приводим к общему знаменателю: Знаменатель по условию , значит и числитель должен быть положительным числом, т. е. . Квадрат числа всегда равен положительному числу, кроме, если а=1. Что и требовалось доказать.

 

Подведение итога урока.

На данном уроке была рассмотрена тема: «Свойства числовых неравенств». В ходе этого занятия вы вспомнили определение неравенства. Получили представление об основных свойствах числовых неравенств, которые впоследствии пригодятся для решения задач.

 

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. ЕГЭ по математике (Источник).
  2. Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
  3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Сравните числа а и b, если: а) ; б)  в) 
  2. Какое из чисел больше х или у, если известно, что: а) ; б) 
  3. №530, 532. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.