Классы
Предметы

Исследование функций на четность

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Исследование функций на четность

На этом уроке мы подробно рассмотрим исследование функции на четность. Вначале вспомним определения четных и нечетных функций и их важное свойство – симметричность. Далее сформулируем алгоритм исследования функции на четность и покажем применение этого алгоритма для решения конкретных задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции»

Напоминание

Функция  называется четной, если для любого   

График четной функции симметричен относительно оси y. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно оси y, то функция четная.

 

Функция  называется нечетной, если для любого  

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетна.

 

Приведенные факты сформулируем более кратко и проиллюстрируем на графике.

 

1.(рис).

 

Рис. 1

2.         (рис. 2).

Рис. 2

Этими опорными фактами мы будем пользоваться при определении четности функции.

Алгоритм исследования функции на четность

Из приведенных определений и свойств вытекает

Алгоритм исследования функции  на четность.

  1. Исследовать  на симметричность относительно нуля Если  не симметрична относительно нуля, это функция общего вида.
  2. Найти
  3. Сравнить
  • если  то функция четная;
  • если  то функция нечетная;
  • если хотя бы для одного

то это функция общего вида.

Решение примеров

Рассмотрим конкретные примеры.

Исследовать функцию на четность:

1) 

Решение:

(рис. 3).

Рис. 3

Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция четная.

2) .

Решение:

(рис. 4).

Рис. 4

 несимметрична относительно нуля, значит это функция общего вида.

Ответ: Функция общего вида.

3) 

Решение:

 область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция нечетная.

4) 

Решение:  (рис. 5).

Рис. 5

Область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция нечетная.

5) 

Решение:

Область определения симметрична относительно нуля (рис. 5).

 

Ответ: Функция четная.

6) 

Решение:  Область определения симметрична относительно нуля.

 

 

Мы видим, что для :

 

 

Функция не является ни четной, ни нечетной, значит, это функция общего вида

Ответ: Функция общего вида.

7) .

Решение:  (рис. 6).

Рис. 6

Область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: Функция общего вида.

8)

Решение:

Построим график функции (рис. 7).

Рис. 7

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Эту же функцию можно задать как

Ответ: Функция четная.

9) Постройте график функции  и прочитайте его, если

 

Решение: Построим график функции (рис. 8).

Рис. 8

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Функция возрастает при

Функция убывает при

Заключение

Мы вспомнили определения четной и нечетной функций, их свойства, сформулировали алгоритм исследования функции на четность и показали применение этого алгоритма для конкретных задач. На следующем уроке мы перейдем к исследованию степенных функций.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 280–282, 295.