Классы
Предметы

Основные понятия, разъясняющие примеры

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Основные понятия, разъясняющие примеры

На этом уроке мы рассмотрим основные понятия и разъясняющие примеры по теме «Числовая функция». Здесь мы рассмотрим, что такое функция и ее область определения и область значений. Приведем примеры функций и решим некоторые задачи, в частности, прямую и обратную задачи для функции.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции»

Введение. Основные определения.

Функцией называется закон , по которому каждому элементу  ставится в соответствие единственный элемент .

Обозначения:

x-независимая переменная или аргумент,

y-зависимая переменная или функция.

Примеры функций:

  1.   (график функции – парабола);
  2.   (функция обратная пропорциональность, график функции – гипербола);
  3.   (линейная функция, график функции – прямая);
  4.   (квадратичная функция, график функции – парабола);
  5.   (график функции – ветвь параболы);
  6. .

Функций много, но все задаются по правилу: каждому элементу  ставится в соответствие единственный элемент .

Например, для функции   при .

Область определения функции.

Понятие функции является важнейшим в математике. Важны все элементы, задающие функцию.

Множество всех допустимых значений аргумента  называется областью определения функции и обозначается .

В случае, когда , функцию называют числовой.

Рассмотрим несколько примеров на нахождение естественной области определения функции (так говорят, если множество  не задано).

  1. .  Ответ: .
  2. .  Ответ: , т.к. нельзя делить на 0.
  3. .  Ответ: , т.к. нельзя извлекать квадратный корень из отрицательных чисел.
  4. .  Ответ: .
  5. .  Ответ: .
  6. .  Ответ: .

Область определения функции – важнейший элемент функции. Если при задании функции множество   не задано, то область определения считается естественной, т.е. совпадающей с областью определения выражения .

Примеры.

1. Найти область определения и построить график функции .  

Ответ:  (естественная область определения).

Графиком функции является парабола (см. рис. 1).

Рис. 1. График функции .

2. Найти область определения и построить график функции

Ответ: .

Графиком функции является часть параболы (см. рис. 2).

Рис. 2. График функции .

Область определения всегда присутствует при задании функции: то ли в явном виде, то ли считается естественной областью определения.

Область значений функции.

При изменении аргумента из области определения функции значения функции меняются на своем множестве.

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции, которая обозначается .

Рассмотрим несколько примеров на нахождение области значений функции.

  1. ; . Ответ: . См. рис. 1.
  2. ; . Ответ: . См. рис. 2.

Разъяснение определения функции.

Закон, который задает функцию, должен удовлетворять требованию однозначного соответствия  и . Объясним это требование на примере.

1. Является ли окружность  графиком какой-либо функции? (См. рис. 3.)

Объяснение: нет, т.к. не каждому  соответствует единственное значение  (например,  соответствуют два разных значения ). Окружность не является графиком функции, это график уравнения.

Рис. 3. График окружности .

2. Является ли верхняя полуокружность  графиком какой-либо функции? (См. рис. 4.)

Объяснение: да, т.к. каждому значению аргумента  соответствует единственное значение функции  (например,  соответствует единственное значение ). Закон, который определяет данную функцию, следующий: .

Рис. 4. График функции .

Геометрический смысл области определения и области значений функции.

 – проекция графика функции  на ось ОХ является областью определения функции.

  – проекция графика функции  на ось ОY является областью значений функции.

Для функции : ,

.

Рис. 5. Геометрический смысл области определения и области значений функции.

Решение типовых задач.

К типовым относятся следующие задачи:

  • нахождение области определения функции;
  • нахождение области значений функции;
  • нахождение значения функции по заданному значению аргумента (прямая задача);
  • нахождение значения аргумента по заданному значению функции (обратная задача).

1. Для заданной функции   найти:

а) , если ; б), если .

Решение.

а)  т.к. .

б) , т.к. .

Рис. 6. График функции

2. Для заданной функции  найти область определения и область значений.

Решение: , следовательно,  . Область определения задана явно.

, следовательно,    (см. рис. 7).

Рис. 7. Область определения и область значений функции  

Итог урока.

На этом уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с определением функции, и примеры, разъясняющие эти понятия. На следующем уроке мы решим задачи на нахождение области определения и области значений функции.

 

Список рекомендованной литературы:

  1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.
  2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.
  4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.
  5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
  6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
  7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

 

Дополнительные веб-ресурсы:

  1. Интернет портал «mathematics.ru» (Источник)
  2. Интернет портал «e-science.ru» (Источник)
  3. Интернет портал «exponenta.ru» (Источник)

 

Домашнее задание:

  1. №№ 3, 8, 11 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).
  2. № 8.137 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).