Классы
Предметы

Степенная функция с четным показателем степени y=x2n, ее свойства и график

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Степенная функция с четным показателем степени y=x<sup>2n</sup>, ее свойства и график

На этом уроке мы рассмотрим степенную функцию с четным показателем, ее свойства и график.
Начнем исследование данных функций с рассмотрения конкретной функции у=х4. Построим график и исследуем ее свойства. При построении графика будем пользоваться важным свойством степенной функции с четным показателем – ее четностью, а точнее, симметричностью ее графика относительно оси у. Также проанализируем взаимное расположение графиков кривых с различным значением четного показателя степени. Далее решим ряд примеров на построение и чтение графика степенной функции с четным показателем и сопутствующие задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции»

Тема: Числовые функции

Урок: Степенная функция с четным показателем степени  её свойства и график

1. Тема урока, введение

Мы уже знакомы с функцией  На этом уроке мы познакомимся со степенной функцией вида  изучим свойства и графики таких функций.

2. Изучение свойств функции

Рассмотрим функцию

 четная функция,

График симметричен относительно оси y.

Рассмотрим график функции  при  Построим график по таблице значений функции (Рис. 1).

  x  

  0  

  1  

    

2

y

0

1

    

  16  

    

Симметрично отобразим график относительно оси y, и получим график функции   (Рис. 2).

Прочтем полученный график.

1.

2. Функция четная.

3. Убывает при  возрастает при

4. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. не существует.

6. Функция непрерывна.

7. Область значений:

8. Функция выпукла вниз. Это значит, что если мы соединим отрезком  две точки на графике, то график будет расположен под этим отрезком.

3. Изучение свойств функции

Рассмотрим функцию  Например,

Это четная функция. Графики всех таких функций проходят через три фиксированные точки (0; 0); (1; 1); (-1; 1).

Кривая  касается оси x в точке (0; 0) и похожа на кривую но круче при

Рассмотрим взаимное расположение кривых

0

2

0

4

    

   0   

      

   6   

 

 

4. Решение задач

Рассмотрим примеры.

1. Что больше:  Ответ:  

Что больше:  Ответ:

Что больше:  Ответ:

2. Построить графики функций и найти :

a.

b.

Решение:

a. Чтобы получить график функции  необходимо построить график функции   и сдвинуть его на 2 вправо вдоль оси x (Рис. 4).

 

b. Чтобы получить график функции  необходимо построить график функции  и сдвинуть его на 1 вверх вдоль оси y (Рис. 5).

 

3. Найти  построить график функции

Решение: Чтобы получить график функции , кривую  необходимо сдвинуть на 1 вправо и на 0,5 вверх (Рис. 6).

 

В следующей задаче мы используем данные предыдущей задачи.

4. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

 имеет хотя бы одно решение.          

Решение:

Рассмотрим построенный график функции  (Рис. 6) и пересечем его семейством прямых .

Если  нет решений.

Если 1 решение.

Если  2 решения.

Фактически, множеством значений параметра, при которых уравнение имеет решение,  является множество значений функции

 

Ответ:

5. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение

  имеет:

a. два корня разных знаков;

b. два положительных корня.

Решение:

Методика та же, что и в предыдущей задаче – рассмотреть график функции и пересечь его семейством прямых  (Рис. 6).

Ответ:

a.  

b.

Определить число решений системы

Решение:

Построим графики функций   и  в одной системе координат (Рис. 7).

На промежутке  функция  убывает, а функция  возрастает, имеется одна точка пересечения. На промежутке  функция  возрастает, а функция убывает, имеется одна точка пересечения. Итого, имеется два решения данной системы.

Ответ: Два решения.

5. Вывод, заключение

Мы построили график и изучили свойства функции  степенной функции с четным показателем; использовали эти свойства при решении задач. На следующем уроке мы изучим свойства  функции  степенной функции с нечетным показателем.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 305, 307(а, в), 309, 308(б, г).