Классы
Предметы

Функция y=sinx, её свойства и график

Данный видеоурок освещает тему «Функция y=sin x. Её свойства и график». На графике наглядно обосновывается функция y=sin x и описываются её свойства. Почему график функции выглядит именно таким образом, как ведет себя синус, если аргумент меняется от 0 до П/2 и от П/2 до П и пр. Рассматриваются свойства функции: область определения функции, множества значения, периодичность функции, y=sin x – нечетная и непрерывная функция.

Тема урока, введение

Мы рассмотрели функцию числового аргумента , либо углового аргумента От переобозначения смысл не меняется. Переобозначим

. Каждому значению независимой переменной ставится в соответствие только одно значение зависимой переменной.

Функция и ее график

Рассмотрим свойства функции , для этого построим график.

Рис.1

По оси oу функция будет меняться только в пределах от  до 1.

Отметим основные точки:

Почему график функции ведет себя таким образом? Рассмотрим единичную окружность в координатной плоскости.

Вспомним закон, по которому каждому значению аргумента x мы ставим в соответствие

Начнем увеличивать угол. Отметим углы

Если т. А скользит по единичной окружности и угол увеличивается, то ордината тоже увеличивается от 0 до 1.

Если точка скользит по окружности от  , ордината уменьшается от 1 до 0. Это же видим на графике.

Итак, если , функция возрастает; а если , то функция убывает;

Далее, сославшись на нечетность функции, можно график симметрично отобразить относительно начала координат.

Но посмотрим, например, что происходит с функцией, когда . Функция уменьшается от 0 до .

Получим значения функции для некоторых точек: 

Отметим их на графике (рис.1) и вспомним, как вычисляется синус.

Чтобы найти значение функции для ,  рассмотрим - прямоугольный.

 

 

 

 

 

 

 

 
 

Найдем значение функции для , для этого рассмотрим прямоугольный треугольник:

Гипотенуза равна 1. Углы равны, значит треугольник равнобедренный и катеты тоже равны. Обозначим катеты m.

По теореме Пифагора  .

.

Найдем значение функции для Рассмотрим  прямоугольный (рис.4).

Нам известно MN, вычислим ON по теореме Пифагора.

.

Отметим полученные значения на графике и получим плавную кривую – синусоиду.

Свойства функции

Мы рассмотрели график функции изобразили ее график, объяснили его построение и с его помощью перечислим основные свойства функции.

1. Область определения

2. Множество значений

Решить уравнение

Уравнение не имеет решений, т.к.

Найти все a,при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Уравнение имеет хотя бы одно решение при

 – минимальный период, т.е.

Таким образом, изучить свойства синуса достаточно на любом отрезке длиной в период–для синуса .

4. Функция - нечетная,

График функции симметричен относительно начала координат, например точка переходит в точку  (рис.1).

Можно построить график на участке от 0 до  (половина периода), и симметрично отобразив относительно т.О (0;0), получить график на промежутке от  до  т.е. на участке длиной в период.

5. Если возрастает от 0 до , то возрастает от 0 до 1; если возрастает от  до , то убывает от 1 до 0.

6.  непрерывная функция, т.е. можно построить график, не отрывая карандаша от бумаги.

Заключение

Мы рассмотрели функцию  и ее важнейшие свойства.

 

Список рекомендованной  литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

4. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

 

 Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№653, 654, 655, 656.