Классы
Предметы

Чётные и нечётные функции

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Чётные и нечётные функции

Данный видеоурок посвящен теме «Чётные и нечётные функции». Рассматривается определение и условия существования четной и нечетной функции. Строятся графики этих функций и описываются их свойства. Объясняется отличие четной функции от нечетной, а также ее отличие от функции общего вида.

Введение

Алгебра_ 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Четные и нечетные функции

1.1. Конспект.

Какую функцию называют четной?  А  какую нечетной?  Что такое функция общего вида? Как определить вид функции?  Развернутый ответ на эти вопросы иллюстрируется  исследованием на четность (нечетность) различных функций. Особое внимание уделено степенной функции  

Какую функцию называют четной? Определение и свойство графика четной функции

1.      Какую функцию называют четной?  Определение и свойство графика четной функции.

Функцию  называют четной, если выполнены два условия:

1) Область определения симметрична относительно .

2) Для любого  справедливо  .

 

Разберем данное определение.

1)  Первое условие означает: если отрезок  то и отрезок .

Заметим, что если  не симметрична, то функция является функцией общего вида.

 

2)  Второе условие означает: если точка с координатами  принадлежит графику функции, то и точка с координатами  тоже принадлежит графику функции.

Заметим, что точки   симметричны относительно оси Оу.

Следствие:  График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Обратно:  Если график функции не симметричен относительно оси Оу, то это график функции, которая не обладает свойством четности.

Какую функцию называют нечетной?  Определение и свойство графика нечетной функции

2.      Какую функцию называют нечетной?  Определение и свойство графика нечетной функции.

Функцию  называют нечетной, если выполнены два условия:

1) Область определения симметрична относительно .

2) Для любого   справедливо  .

Разберем  данное определение на примере конкретной  нечетной функции: .

1) Если точка с координатами  лежит  на графике, то и точка с координатами  тоже лежит .

.

2) Если точка с координатами  лежит  на графике функции, то и точка с координатами  тоже лежит.

Заметим, что точки   симметричны относительно  начала координат.

Следствие:  График нечетной функции симметричен относительно  начала координат.

Обратно:  Если график функции не симметричен относительно точки О, то это график функции, которая не обладает свойством нечетности.

Исследование на четность и нечетность степенных функций вида y = xn 

3.      Исследование на четность и нечетность степенной функции 

Функции  .

Функция  - это  нечетная функция.

Она удовлетворяет требованиям определения нечетной функции.

Область определения симметрична относительно

График симметричен относительно  O (0;0).

Функция   - это  функция общего вида.

Ее график  не симметричен относительно  O (0;0) и оси Оу.

 

Функции  и  это четные функции.

Область определения симметрична относительно .    

 .

График  этих функций симметричен относительно  оси Оу.

Функция   - это  функция общего вида.

Ее график  не симметричен относительно О (0;0) и оси Оу.

       

        Функция  - это  нечетная функция.

        Она удовлетворяет требованиям определения нечетной функции.

        Область определения симметрична относительно 

       

        График симметричен относительно  0 (0;0).

Вывод:

1) Функции вида  (показатель степени – четное число) являются четными функциями.

2) Функции вида  (показатель степени – нечетное число) являются нечетными функциями.

Исследование на четность и нечетность степенной функции  y = x-n

4.      Исследование на четность и нечетность степенной функции  y = x-n.

Функции:

Очевидно, что естественная область определения этих функции . Значит, область определения симметрична относительно  ( хотя сама точка 0 не входит(!) в  область определения этих функций).

Очевидно, что , значит, это функции нечетные

Ясно, что , значит, это функции четные.

Исследование  функций на четность/нечетность позволяет упростить построение графика.  В случае четности или нечетности функцию можно изучить на половине области определения,  а потом продлить по симметрии относительно:

  Оси Оу

  Начала координат

  

Пример 1.

5.      Построить график функции    .  

Является ли эта функция четной, нечетной или общего вида?

Строим график этой функции.

В силу симметричности графика функции относительно оси Оу функция является четной.

Пример 2.

6.      Построить график функции    .  

Является ли эта функция четной, нечетной или общего вида?

Строим график этой функции.

В силу симметричности графика функции относительно начала координат  функция является нечетной.

Замечание. Функция является нечетной,  несмотря на четность входящих в нее функций.

Исследовать функции  на  четность/нечетность

7.      Исследовать функции     на  четность/нечетность.

1)     

Область определения функции . Значит, она не симметрична относительно . Следовательно, это функция общего вида.

 

2)     

Область определения функции симметрична: 

Построим график.

График симметричен относительно начала координат. Значит, функция является нечетной.

Заключение

1.2.Список  рекомендованной литературы.

 

 

1.3. Дополнительные веб-ресурсы.

 

http://slovo.ws/urok/algebra  - учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для  9  класса. Все учебники, указанные в списке, можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.  

http://math-portal.ru/matematika-shkolnaya/

 

1.4. Сделай дома.  

Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010

 

Домашнее задание:  11.3 (а, б); 11.4 (а, б); 11.10; 11.9.

Другие задания: 11.11;   11.20;    11.23;  11.27.