Классы
Предметы

Элементы теории тригонометрических функций. Основные формулы

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Элементы теории тригонометрических функций. Основные формулы

Представляем вашему вниманию видеоурок, посвященный теме «Элементы теории тригонометрических функций. Основные формулы». Этот видеоматериал представляет собой обобщающее занятие, на котором вы сможете повторить основные положения теории тригонометрических функций. Учитель даст определение распространенных тригонометрических функций и перечислит их формулы.

Введение

Алгебра  9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Элементы теории тригонометрических функций. Основные формулы

1.1.  Конспект.

Урок посвящен повторению основных формул, которые  связывают синус, косинус, тангенс и котангенс числа t.  Их применение иллюстрируется на примере решения типовых заданий. Рассмотрено одно вычислительное задание - по одной из тригонометрических функций найти остальные - и четыре задания на упрощение тригонометрических выражений.

Повторение. Определение функций  y = cos t и y = sin t

1.      Повторение. Определение функций   и.

Поместим единичную окружность на координатную плоскость.

Центр окружности совпадает с началом координат. Радиус окружности равен единице.

Значит, длина окружности равна 2π, .

Возьмем любое число t. Ему соответствует единственная точка на окружности Мt. (Длина дуги А равна  t.) У этой точки две координаты: .  Абсциссу  точки М называют косинусом, а ординату синусом числа t.

Основные формулы, которые связывают синус, косинус, тангенс и котангенс числа t

2.      Основные формулы, которые связывают синус, косинус, тангенс и котангенс некоторого числа t.

Основное тригонометрическое тождество. Определение тангенса и котангенса.

1)      

Таким уравнением описывается единичная окружность. Это равенство означает, что для любой точки окружности квадрат ее абсциссы и квадрат ее ординаты в сумме дают единицу.

Абсцисса точки единичной окружности – это  косинус, а ордината – синус соответствующего числа t.

Перед нами основное тригонометрическое тождество.

2)      ;  

Тангенсом числа t называют отношение синуса к косинусу.

Соответственно, котангенсом – отношение косинуса к синусу.

3)      

Действительно,    c, значит,   .  

Перед нами формула, которая связывает значения тангенса и котангенса одного и того же числа t.

 

Следствия из основного тригонометрического тождества.

1)     

Формула верна при  

Разделим основное тригонометрическое тождество

 на  (. Получим:   или

2)     

Формула верна при  

Разделим основное тригонометрическое тождество

 на  , (. Получим:   или .

Пример применения основных формул

3.      Пример применения основных формул.

Дано  .  Найти значения .

Начнем с геометрической интерпретации условия. Косинус – это абсцисса точки на единичной окружности. Значению косинуса -1/3 соответствуют точки К и F. 

По условию , значит,  искомая точка – это точка F.

 

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем значение  синуса.

 

Подставим в формулу значение косинуса. Вычислим.

 

Извлечем квадратный корень из полученного числа и узнаем  два возможных значения для синуса.

 

 

Выберем из двух возможных значений одно соответствующее условию. Ордината точки F – число положительное.

 

Используем определение тангенса и найдем соответствующее значение.

 =

 

Используем формулу, которая связывает значения тангенса и котангенса.

Упростить выражение. Пример 1.

4.       Упростить .

 

                     Выполним возведение в квадрат.

 

   Приведем подобные слагаемые.

 

                                            Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

Упростить выражение. Пример 2.

5.       Упростить .

.

.

В числителе сгруппируем тригонометрические функции и вынесем минус единицу за скобки.

В знаменателе вынесем общий множитель  за скобки.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

Упростить выражение. Пример 3.

6.       Упростить  .

.

Заметим, что числитель представляет собой разность квадратов.

Воспользуемся формулой разности квадратов; выполним сокращение.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

 

Упростить выражение. Пример 4.

7.       Упростить  .

      

                         

Выполним сложение. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель представляет собой произведение исходных знаменателей.

В числителе раскроем скобки. Упростим  полученное выражение.

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов.   

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.

 

Заключение

 

1.2.Список  рекомендованной литературы.

1.      Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Алимов, Колягин 

2.      Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса. Башмаков М.И.

3.      Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 класса. Абрамов А.М., Дудницын Ю.П.

4.      Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 класса. Учебник в двух частях. Мордкович А.Г.

 

1.3. Дополнительные веб-ресурсы.

 

http://slovo.ws/urok/algebra  - учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для  9  класса. Все учебники, указанные в списке, можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.  

http://math-portal.ru/matematika-shkolnaya/.

 

1.4. Сделай дома.

 

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Алимов, Колягин, 2012


Домашнее задание:  459, 465, 467.

Другие задания:   469, 470.