Классы
Предметы

Линейные неравенства и их системы; модуль

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Линейные неравенства и их системы; модуль

Первая часть урока посвящена повторению материала, необходимого для решения неравенств, содержащих знак модуля. На конкретных примерах разбирается решение линейного и двойного неравенства. Затем обсуждается определение модуля и его геометрический смысл. Вторая часть урока посвящена разбору двух способов решения линейного неравенства, осложненного наличием модуля.

Разбор решения простейшего линейного неравенства 2х + 1 > 0

Линейное неравенство. Общий вид линейных неравенств . Рассмотрим решение конкретного неравенства: 2х+1>0. Частным решением неравенства, а его можно подобрать, является такое значение х, которое удовлетворяет исходному неравенству. Например, число 5. При его подстановке получаем верное числовое неравенство. И таких частных решений мы можем подобрать много. Но нужно найти все решения, то есть найти общее решение неравенства.

Общее линейное неравенство решается довольно просто.

1 шаг: 2х > -1

Перенесли второе слагаемое «+1» из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.

 

2 шаг:

Обе части линейного неравенства делим на 2 (число 2 положительное, значит, знак неравенства менять не нужно).

 

Изобразим на числовой прямой найденное множество. Это все числа, расположенные справа от -1/2.

Ответ:

 

Или ответ: (-1/2;∞).

Предпочтительная форма записи в виде интервала.

Ранее мы рассматривали метод интервалов. Он применим и к такому неравенству. Введем функцию y=2х+1. Построим график этой функции. Очевидно, что график проходит через точки (0; 1); (-1/2; 0) (рис. 1).

 

Рис. 1. График

Мы видим наглядно, что при всех значениях аргумента от -∞ до корня -1/2 функция отрицательна. Здесь график находится под осью Х.

А при всех значениях аргумента от корня до +∞ функция положительная. Здесь график находится над осью Х.

Таким образом, интервалы знакопостоянства присутствуют и здесь. Значит, и такие неравенства можно решать методом интервалов.

Разбор решения простейшего двойного неравенства 3 <  х + 1 < 8

Двойное неравенство можно рассматривать как систему, состоящую из двух неравенств.

Это знак эквивалентности, или равносильности. Он означает, что выполняются только такие действия, которые не искажают множество решений.

В неравенствах бесчисленное множество решений. Нельзя не потерять ни одного корня, ни одного решения, нельзя и приобрести какого-то решения. Поэтому допускаются только эквивалентные преобразования.

Эквивалентные, или равносильные преобразования.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Над осью – решение первого неравенства. Это луч от -∞ до 7. Под осью – решение второго неравенства. Это луч от 2 до +∞.

Решить систему – означает найти все х, которые одновременно удовлетворяют и первому неравенству, и второму. А это те х, над которыми штриховка в обе стороны (рис. 2).

Ответ: 2 < х < 7

Или ответ: (2; 7)

2 и 7 не входят в решения неравенства. Поэтому скобка круглая.

2 < х < 7

Решим неравенство вторым способом. Перенесем «+1» в обе части неравенства, сменив знак.

Получилось то же самое решение.

Определение модуля и его геометрический смысл

Модулем числа t называется само число t, если оно больше либо равно 0. Либо противоположное ему число t, если оно меньше 0

Иногда определение дают иначе. Модуль t равен t для положительных чисел и для нуля. И модуль t равен -t, когда под модулем стоит отрицательное число либо 0.

Пример.

 

Модулем называется само число, если оно не отрицательное, и противоположное число, если оно отрицательное.

Рис. 3. Модуль числа 3

Геометрически (рис. 3)

 – это расстояние от точки с координатой 3 до 0.

 – это расстояние от точки с координатой -3 до 0.

 – это расстояние от точки с координатой х до 0.

 – это расстояние от точки с координатой х -3 до 0, т. е. это расстояние от точки х до 3.

 – это расстояние от точки х до -3

Линейное неравенство, осложненное наличием модуля. |х - 2| < 3; |х - 2| ≥ 3. Два способа решения

 1 способ. Применим общий приём освобождения от модуля на основе его определения.

Чтобы освободиться от модуля, нужно рассмотреть два случая.

Случай 2

Если под модулем стоит неотрицательное число, то модуль можно просто отбросить.

 

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

[2;5) (рис. 4)

Случай 2

Если под модулем стоит число отрицательное, то нужно отбросить модуль, поставить знак минус перед всем подмодульным выражением.

 

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

(-1;2) (рис. 5)

Решение первой системы и решение второй системы нужно объединить.

 

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

-1 < х <-5

 (-1; 5) (рис. 6)

2 способ. Используем геометрический смысл модуля.

Что такое модуль х-2? Это расстояние между точками с координатами х и 2. Согласно условию неравенства, это расстояние не должно превышать 3 (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

Поставим на числовой оси точку 2. Отступим от нее на 3 вправо и влево по оси. Справа получим точку 2 + 3 = 5; слева точку 2 - 3 = -1

Итак, геометрический смысл неравенства: найти те значения х, которые отстоят от 2 не больше, чем на 3. То есть, можно записать

-3+2 < х <3+2

-1 < х < 5

Решим двойное неравенство. Перенесем «-2» с противоположным знаком вправо и влево.

Решим противоположную задачу.

Что такое модуль х-2? Это расстояние между точками с координатами х и 2. Согласно условию неравенства, это расстояние должно превышать 3 или быть равно 3.

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Поставим на числовой оси точку 2. Отложим 3 в одну сторону и 3 в другую сторону. Где же те значения х, которые отстоят от 2 на расстояние 3 или далее?

На расстоянии 3 находятся точки -1 и 5. На большем расстоянии находятся точки левее -1 и правее 5 (рис. 8).

Итак, ответ: .

Заключение

Список литературы

  1. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. – 2010.
  2. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010.
  3. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.
  4. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Задачник – 2008.
  5. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра, 9 класс – 2009.
  6. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания (Источник).
  2. Math-portal.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010. 1.17 – 1.19, 1.22