Классы
Предметы

Прогрессии. Геометрическая прогрессия

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Прогрессии. Геометрическая прогрессия

Урок посвящен повторению понятия «геометрическая прогрессия». Рассматривается определение и основные формулы. На конкретных примерах показаны основные приемы при решении типовых заданий.

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия – это такая последовательность, отношение каждого члена которой, начиная со второго, к предыдущему есть число постоянное.

Это число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

 т.е.

Определение можно дать иначе. Геометрическая прогрессия – это такая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Формула n члена геометрической прогрессии. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

 

= 

= 

Мы выразили  через  и q.

Мы выразили  через  и q.

Любой член геометрической прогрессии можно выразить через . Поэтому геометрическую прогрессию можно задать, указав ее первый член и знаменатель.

Формула суммы первых n членов геометической прогрессии

, где

Характеристическое свойство

 

 

 т.е.

 является средним геометрическим предшествующего и последующего члена.

 является средним геометрическим предшествующего и последующего члена.

Это справедливо для любого члена арифметической прогрессии, кроме первого и последнего. Более того, это критерий для определения, является ли данная последовательность геометрической прогрессией.

Обобщение характеристического свойства

Докажем, что

 .

Основной прием:

выразить данные через .

Равенство справедливо потому, что сумма индексов – постоянное число.

Упражнение 1

Дана геометрическая прогрессия  .         

Найти сумму квадратов первых шести членов.

Последовательность членов геометрической прогрессии, возведенных в квадрат, является геометрической прогрессией.

 

В справедливости этого факта легко убедиться. Отношение каждого члена последовательности, начиная со второго, – это одно и то же число. Оно равно  (где q – знаменатель исходной прогрессии).

Замечание. Последовательность членов геометрической прогрессии, возведенных в куб, тоже является геометрической прогрессией. Ее знаменатель – это  (где q – знаменатель исходной прогрессии).

 

= 12285

Наша задача сводится к нахождению  для новой прогрессии.

Упражнение 2

Дано: .

Найти

Основной прием:

выразить данные через .

Вынесли общий множитель.

Разложим на множители сумму кубов .

Разделим первое уравнение систему на второе.

Сократим дробь.

Выполним преобразования.

Получим квадратное уравнение и решим его.

 или  

Подставим найденные значения для q и найдем .

Заключение

Список литературы

  1. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. – 2010.
  2. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010.
  3. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.
  4. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Задачник – 2008.
  5. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра, 9 класс – 2009.
  6. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

 

Домашнее задание

  1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010. 17.8 (а,б); 17.10 (а,б); 17.19 (а,б); 17.27 (а,б).
  2. Другие задания: 17.24; 17.35; 17.44

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания (Источник).
  2. Math-portal.ru (Источник).