Классы
Предметы

Рациональные неравенства и эскизы графиков функций

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Рациональные неравенства и эскизы графиков функций

На уроке, в рамках повторения, рассматривается решение двух рациональных неравенств методом интервалов. Далее рассматривается вопрос: как, используя полученные результаты, можно построить эскизы графиков соответствующих рациональных функций.

Пример 1

Пример 1. (х+2)∙(х+4)∙(х-1) > 0.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Левая часть неравенства – это произведение трех множителей. Найдем, при каких значениях переменной х каждый из множителей равен 0, т. е. найдем корни.

Найденные значения: -4, -2, 1, поставим на числовую ось (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

2. Рассмотрим первый интервал. Определим знак каждого из множителей на этом интервале. Для этого достаточно подставить любое значение переменной х из этого интервала. Например, -5. Все три множителя будут отрицательными. Значит, и все произведение будет меньше 0. Аналогично рассмотрим остальные интервалы и расставим знаки.

3. Выберем интервалы, соответствующие условию неравенства. Итак, решение неравенства.

. Неравенство строгое, поэтому значения -4, -2 и 1 не включены в решение.

Построим эскиз графика функции y = (х+2)∙(х+4)∙(х-1), используя полученные при решении неравенства результаты:

1. Область определения – любое действительное число.

2. Корни функции – -4, -2 и 1.

3. При решении неравенства мы нашли промежутки знакопостоянства функции.

4. Исследуем поведение функции в окрестности каждого корня.

Слева от точки -4 функция отрицательна, а справа положительна. Значит, график пойдет снизу вверх. Слева от точки -2 функция положительна, а справа отрицательна – график пойдет сверху вниз (рис. 2).

Рис. 2. График функции

Функция непрерывна, значит, ее график изогнется и образует своеобразный горбик. Рассуждая аналогичным образом, придем к выводу, что на интервале от -2 до 1 график функции тоже изогнется и образует «впадину».

При неограниченном увеличении значения переменной х значение переменной Y тоже неограниченно увеличивается. При неограниченном уменьшении х, у тоже неограниченно уменьшается. Значит,

при график функции идет вверх,

при график функции идет вниз.

Пример 2

Пример 2.

Решим неравенство методом интервалов.

1. Левая часть неравенства – это дробь. Разложим ее числитель и знаменатель на множители. Найдем, при каких значениях переменной х числитель и знаменатель дроби равны 0.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

  Найденные значения –  – поставим на числовую ось (рис. 3).

2. Рассмотрим первый интервал. Определим знак каждого из множителей на этом интервале. Для этого достаточно подставить любое значение переменной х из этого интервала. Например, -5. Все четыре множителя будут отрицательными. Значит, и вся дробь будет больше 0. Аналогично рассмотрим остальные интервалы и расставим знаки.

3. Выберем интервалы, соответствующие условию неравенства. Итак, решение неравенства.

 или . Неравенство нестрогое, поэтому значения -2, 2 включены в решение. При х = -3, и при х = 3 знаменатель дроби равен 0, поэтому эти значения не включены в решение.

Построим эскиз графика функции 

1. Область определения: переменная х может принимать любые значения кроме .

2. -2; 2 – корни функции.

3. При решении неравенства мы нашли промежутки знакопостоянства функции.

4. Исследуем поведение функции в окрестности каждого корня.

Слева от точки -2 функция отрицательна, а справа положительна. Слева от точки 2 функция положительна, а справа отрицательна. Функция непрерывна, значит, ее график изогнется и образует «горбик» (рис. 4).

5. Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва области определения, т. е. в окрестности точки -3 и в окрестности точки 3.

Рис. 4. График функции

При  справа, (х+3) стремится к 0, а вся дробь стремится к . При  слева, (х+3) стремится к 0, а вся дробь стремится к . Изобразим это на графике. Итак, в окрестности точки -3 график функции как бы «выскочит» из .

Рассуждая аналогично, получим:

При  (х-3) стремится к 0, а вся же дробь стремится к . Слева от точки 3 к , справа к .

6. Исследуем поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Решая неравенство, мы узнали, что при функция принимает только положительные значения. Продолжим рассуждения. При постоянными слагаемыми можно пренебречь, т. е.  Значит, график функции не уйдет вверх, а будет прижиматься к прямой y= 1.

 

Список литературы

  1. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. – 2010.
  2. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник. – 2010.
  3. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.
  4. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра, 9 класс. Задачник – 2008.
  5. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра, 9 класс – 2009.
  6. Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. Алгебра, 9 класс – 2010.

 

Домашнее задание

  1. Построить эскизы графиков соответствующие неравенству функций № 2.8, № 2.9.
  2. Другие задания: построить эскизы графиков, соответствующие неравенству функций № 2.18, № 2.20.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Slovo.ws (Источник).
  2. Интернет-портал Math-portal.ru (Источник).