Классы
Предметы

Рациональные неравенства и их системы. Системы линейных и квадратных неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Рациональные неравенства и их системы. Системы линейных и квадратных неравенств

Решение любого неравенства, как правило, дает числовое множество. Решить систему неравенств означает найти пересечение числовых множеств. На уроке рассматривается вопрос, что значит найти пересечение множеств. И показано, как это сделать на шести конкретных примерах.

Введение

Алгебра_9 класс

Рациональные неравенства и их системы.

Системы линейных и квадратных неравенств

Разбор решения системы  неравенств

1.      Разбор решения системы  неравенств .

.

Выполнив ряд эквивалентных преобразований, мы получили систему линейных неравенств.

Что означает решить данную систему? Нужно найти все те значения переменной х, которые одновременно удовлетворяют как первому, так и второму неравенству.

       

Для  этого изобразим множество решений первого линейного неравенства над осью Ох, а множество решений второго неравенства под осью Ох.

Ясно, что решением данной системы является интервал от 2 до 3. Точки х=2 и х=3  не являются решениями неравенства. Поэтому их не включают в промежуток.

Вариант 1.                                                                            Вариант 2.

                                                              

                                        

Рассмотрим  вариант 1 и 2.

Ø  В первом случае точка х=2 включена в решение системы. Первое неравенство не является строгим.

Ø  Во втором случае обе  точки х=2 и х=3 включены. Оба неравенства нестрогие.

Разбор решения системы  неравенств

2.      Разбор решения системы  неравенств.  

   Изобразим множество решений первого неравенства над осью Ох, а множество решений второго неравенства под осью Ох.

Что значит найти объединение и пересечение двух числовых множеств?

 

3.    Что значит найти объединение и пересечение двух числовых множеств?

Решение системы неравенств заключается в пересечении определенных множеств. Рассмотрим операцию пересечения множеств более подробно.

 

Рассмотрим рисунок.

Пусть есть  некоторое числовое множество А. Множество В – это другое числовое множество. У этих двух множеств есть общая часть. Это и есть пересечение.

Определение. Пересечением двух множеств называется такое третье множество, которое состоит из всех элементов, входящих одновременно и в А, и в В.  Обозначается .

Определение. Объединением двух множеств называется такое третье множество, которое состоит из всех элементов, входящих хотя бы в одно из этих множеств.  Обозначается .

Вместо  можно записать А или В.

Если число принадлежит объединению двух множеств, то оно может принадлежать:

  • Только множеству А.
  • Только множеству В.
  • И множеству А, и множеству В.

Разбор решения системы  неравенств

4.      Разбор решения системы  неравенств  

Изобразим множество решений первого неравенства над осью Ох, а множество решений второго неравенства под осью Ох. Второе множество состоит из двух частей. Оно представляет собой объединение двух лучей.

  

   

Решением данного неравенства является объединение двух отрезков.

Разбор решения системы  неравенств

5.      Разбор решения системы  неравенств

 

Изобразим множество решений первого неравенства над осью Ох, а множество решений второго неравенства под осью Ох.

Первое неравенство выполняется при любом значении переменной х.

 

Решение системы совпадает с решением второго неравенства.

 

Разбор решения системы  неравенств

6.      Разбор решения системы  неравенств 

Первое неравенство системы не имеет решений. Для того чтобы решить систему, нам надо найти значения переменной х, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Однако нет таких  значений х, которые бы удовлетворяли первому неравенству. Значит, и система не имеет решений.

 

Рассмотрим первое неравенство. Почему оно не имеет решений?

Построим эскиз графика функции      . Видно, что при любом значении х функция лежит выше оси Ох, т.е. .

Разбор решения системы  неравенств

7.      Разбор решения системы  неравенств  

Изобразим множество решений первого неравенства под осью Ох. Это отрезок от 0 до 5.

Множество решений второго неравенства изобразим над осью Ох. Это множество представляет собой объединение двух лучей.

Видно, что решением системы является отрезок от 3 до 5.

,

Первое неравенство может быть решением квадратного неравенства. Второе тоже может быть решением квадратного неравенства. Сконструируем  систему неравенств, которая даст нам  исходную систему.

Заключение

 

Итак, на уроке мы опускали сами неравенства и работали только с их решениями, подробно разбирая вопрос, что значит найти пересечение решения первого и второго неравенства.

      

1.2.Список  рекомендованной литературы.

  1. Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010
  2. Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010
  3. Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010
  4. Алгебра, 9 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) 2008
  5. Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2009
  6. Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010

 

1.3. Дополнительные веб-ресурсы.

 

http://slovo.ws/urok/algebra  - учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для  9 класса. Все учебники, указанные в списке, можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.

http://math-portal.ru/matematika-shkolnaya/.

 

1.4. Сделай дома. 

Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010

Домашнее задание: 4.7; 4.9; 4.11. 

Другие задания: 3.12; 3.13; 3.14.