Классы
Предметы

Система уравнений в задаче на движение

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Система уравнений в задаче на движение

Система двух уравнений с двумя неизвестными часто служит математической моделью реальных ситуаций. На этом уроке мы рассмотрим задачу на движение, переведем реальную ситуацию на математический язык, составим математическую модель – нелинейную систему уравнений – и решим ее. В конце урока мы рассмотрим графическое решение системы уравнений.

.

Задача 1

Пристани  и  находятся ниже пристани  по течению реки соответственно на 30 и 45 км. Моторная лодка отошла от пристани , дошла до , сразу повернула назад и дошла до , затратив на весь путь 4 часа 40 минут. В другой раз эта же лодка отошла от пристани , дошла до , сразу повернула назад и пришла в , затратив на весь путь 7 часов. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Дано:

Расстояние: ; ;  (см. Рис. 1).

1 рейс лодки:  – время .

2 рейс лодки:  – время 7 ч.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Найти: собственная скорость лодки и скорость течения реки.

Решение

1. Пусть  – это собственная скорость лодки;  – скорость течения реки. Следовательно, скорость лодки по течению – , против течения – .

Рейс 1:

а) Из  в лодка шла по течению 45 км:

Следовательно, время пути составило: 

б) Из  в  лодка шла против течения 15 км:

Следовательно, время пути составило: 

в) Общее время в пути для первого рейса составило: 

По условию это время составило 

Рейс 2:

а) Из  в лодка шла против течения 45 км:

Следовательно, время пути составило:

б) Из  в  лодка шла по течению 30 км:

Следовательно, время пути составило: 

в) Общее время в пути для второго рейса составило: 

По условию это время составило

Получили систему уравнений относительно  и

2) Решим полученную систему:

Произведем замену переменных:  

Вернемся к старым переменным:

 

 

 

Выполнив проверку, получаем, что данная пара является решением системы. Кроме того, такие значения переменных подходят нам по смыслу задачи.

Ответ: Собственная скорость лодки – , скорость течения реки – .

Задача 2

Решить графически систему уравнений: .

Решение

Функция  существует при , поэтому все решения данной системы необходимо искать при .

Решением первого уравнения являются все точки, которые расположены на ветви параболы при  (см. Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Решением второго уравнения являются все точки, расположенные на ветви параболы (см. Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Объединим графики двух уравнений (см. Рис. 4). Видно, что данные ветви параболы пересекаются в точках  и .

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Других решений данная система не имеет, так как графики имеют разную выпуклость:

 – выпуклая вниз при

 – выпуклая верх при

Ответ: ;.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил.

3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт free.megacampus.ru (Источник)

2. Интернет-сайт YouTube (Источник)

3. Интернет-сайт фестиваля педагогических идей «Открытый урок» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Задачи 5.34 (б), 7.1, 7.37 (стр. 40–50) – Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник (Источник)

2. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций  и , расстояние между которыми 600 км. Первый из них приходит на станцию  на 3 ч раньше, чем второй на станцию . В то время как первый проходит 250 км, второй пройдет 200 км. Найти скорость каждого поезда.