Уважаемые пользователи! В связи с блокировкой Роскомнадзором хостингов Telegram наш сайт (как и некоторые другие сайты Интернета), а также оплата абонементов могут быть недоступны или работать некорректно для части пользователей. Просим всех столкнувшихся с проблемами обращаться по адресу info@interneturok.ru.
Классы
Предметы

Типовые задачи по теме «Геометрическая прогрессия» (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Типовые задачи по теме «Геометрическая прогрессия» (продолжение)

На данном уроке будет рассмотрена тема «Типовые задачи по теме “Геометрическая прогрессия” (продолжение)». Вспомнив, что такое геометрическая прогрессия, какие свойства формулы для нее характерны и каково ее характеристическое свойство, рассматриваются задачи и их решения на геометрическую прогрессию, формулу сложных процентов.

Тема урока, повторение

На уроке кратко повторяется теория, и решаются типовые задачи на геометрическую прогрессию.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

Математическая запись.

геометрическая прогрессия, ее члены , при этом:

Иная запись:, т.е. . формула n–го члена геометрической прогрессии, n=1,2,3,…

т.е. геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию натурального аргумента.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

.

 геометрическая прогрессия.

 если

) геометрическая прогрессия со знаменателем

Решение задач

Далее продолжим рассматривать решение типовых задач на геометрическую прогрессию.

1. Дано: руб. первоначальный вклад; число процентов за 1 период; руб. – величина вклада в конце го периода. Доказать формулу сложных процентов: Доказательство: .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . Обсудим эту формулу. где   геометрическая прогрессия со знаменателем не зависит от Т.к. , то  Пример: если   , то

2. Дано:  руб.; ; лет. Найти:   и доход за 5 лет. Решение:Ответ:  16105,1 руб.;  6105,1 руб.

3.Дано:  руб.; ; лет. Найти: доход за 5 лет при ежегодном снятии дохода. Решение: Доход за каждый год: руб. Доход за 5 лет: руб. Ответ:  руб. Сравнение: руб.

4. Первоначальная цена товара равна     руб. Её предполагают повышать ежегодно на :

 от предыдущей цены;  от первоначальной цены. На сколько повысится цена за 5 лет? Ответ: на  руб.  на  5000 руб.

5. Цена товара повышалась на 20% ежегодно. На сколько процентов возросла цена за 3 года? Решение:следовательно, цена возросла на Ответ: на

6. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй – 2 коп., в третий – 4 коп., в четвертый – 8 коп. и т.д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки? Решение: Богач получил   тыс. руб. = руб. Сумма, которую богач отдал – это сумма геометрической прогрессии с =1 коп. и (коп.)(руб.) Сумма эта, по-видимому, огромна. Попробуем ее оценить. млн. руб. Ответ: Богач получил 3 млн. руб., отдал  руб. – более 9 млн. руб., т.е. он проиграл.

Итак, рассмотрены задачи на геометрическую прогрессию на формулу сложных процентов. Следующий урок будет посвящен задачам на арифметическую и геометрическую прогрессию.

 

Методические замечания:

С помощью формулы сложных процентов можно решать не только экономические задачи про вклады и кредиты, а, например, и такие:

1. Ежегодно население некоторой страны увеличивается на 1%. Сколько людей будет жить в этой стране в 2020 году, если в 2012 их было 10 млн.? Ответ: (млн. чел.)

2. В емкости содержится 1000 л воздуха. Каждое движение насоса удаляет из емкости 0,1 часть воздуха. Сколько литров воздуха останется в емкости после пяти движений поршня? Ответ: л.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 510, 526.