Классы
Предметы

Понятие множества

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Понятие множества

В этом уроке вы узнаете, что такое множество. Мы изучим основные понятия и терминологию. Также рассмотрим решение типовых примеров и задач, теоремы и примеры к ним

Множества в реальной жизни

Математика отражает реальную жизнь, а в реальной жизни мы наблюдаем выделение отдельных объектов, людей в единую совокупность. Например, родственников мы выделяем в единую совокупность и называем семьей, группу книг называем библиотекой и т.д. В математике соответствующим понятием является понятие множества.

Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита (). Множества в математике состоят из элементов, которые обозначаются малыми латинскими буквами ().

Тот факт, что элемент  принадлежит множеству , записывается как . Тот факт, что элемент  не принадлежит множеству , записывается как .

Два множества называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Например: множество  содержит цифры 1, 2, 3 и множество  содержит эти цифры (), значит, множества равны друг другу (.

Способы задания множеств

Способы задания множества:

1) Перечисление всех элементов множества. Например: .

2) С помощью характеристического свойства – свойства, которым обладают элементы множества (рис. 1).

  • Множество простых чисел – все натуральные числа, которые имеют ровно два обычных делителя.
  • Расположенные на оси x числа, между числами 1 и 2: .

Задание множества с помощью характеристического свойства

Рис. 1. Задание множества с помощью характеристического свойства

  • Множество всех москвичей, которых зовут Дмитрий.

Пример

Рассмотрим множество корней уравнения. Зададим его характеристическим свойством: . Допустим, теперь следует задать то же множество, но с помощью перечисления его элементов. Для этого решим уравнение:

Тогда  и т.д., порядок элементов здесь не важен.

Мы видим, что переход к новому виду множества может быть содержательной математической задачей. Здесь – это решение уравнения.

Аналогичный пример: описать множество корней уравнения: .

Мы знаем, что для любого , , тогда , значит, уравнение не имеет смысла, то есть у него нет корней. В этом случае записывается так называемое пустое множество .

По аналогии с нулем пустое множество – это множество в котором нет ни одного элемента.

 

Неправильное задание множеств

Характеристическое множество всегда должно быть сформулировано четко. Вот пример не очень удачной характеристики множества: окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки. Если представить квадрат, то можно увидеть, что все его вершины равноудалены от одной точки – точки пересечения диагоналей (рис. 2).

 Иллюстрация примера не очень удачной характеристики множества

Рис. 2. Иллюстрация примера не очень удачной характеристики множества

Но множество вершин квадрата не является окружностью, пропущено ключевое слово «…всех точек плоскости…».

Примеры множеств, основанных на теоремах

Еще один пример о способах задания бесконечных множеств. Теорема: серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.

Возьмем отрезок , его центр – точка . Перпендикуляр, проведенный через точку  к отрезку () – это серединный перпендикуляр, любая его точка  равноудалена от концов отрезка (рис. 3). Точка  принадлежит перпендикуляру  () тогда и только тогда, когда . Смысл этой теоремы в том, что есть множество, которое задано характеристическим свойством, то есть равноудаленностью от концов отрезка, то есть множество задано неявно. Теорема утверждает, что это множество совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку, то есть может быть задано явно – в том смысле, что может быть указан способ его построения, в данном случае построение циркулем и линейкой.

Пример к теореме о серединном перпендикуляре к отрезку

Рис. 3. Пример к теореме о серединном перпендикуляре к отрезку

Еще один пример: при изучении вписанных окружностей доказывают такую теорему – биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Имеем угол с вершиной , биссектриса , точка  на биссектрисе. Опускаем перпендикуляры на стороны угла, к точкам  и  (рис. 4). Эти перпендикуляры, а значит, и расстояние от точки  до лучей угла равны между собой. Точка  принадлежит биссектрисе  () тогда и только тогда, когда .

Пример для теоремы о биссектрисе угла

Рис. 4. Пример для теоремы о биссектрисе угла

Смысл этой теоремы в том, что есть множество с заданным характеристическим свойством: геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, то есть множество задано неявно. Теорема утверждает, что это множество может быть задано явно, то есть может быть указан способ его построения, в данном случае построение циркулем и линейкой. Оно совпадает с биссектрисой. В данном случае мы опять сталкиваемся с тем, что задача перехода от одного описания множества к другому, может быть содержательной математически. Обратим внимание на то, что для бесконечных множеств, задание множества перечислением невозможно, а явное построение служит заменой этого способа.

Выводы

На данном уроке мы рассмотрели понятие множества и привели важные примеры.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованное домашнее задание

  1. Были ли множества придуманы человеком?
  2. Зачем нужны множества и как часто вы с ними сталкиваетесь?
  3. Задайте множество месяцев в году перечислением.
  4. Укажите теоремы, которые вы знаете, описывающие какие-либо множества.
  5. Можно ли перечислить множество всех целых чисел, находящихся между 1 и 20? Если да, то запишите это множество.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Yaklass.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
  3. Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).