Классы
Предметы

Решение квадратных неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение квадратных неравенств

На этом уроке мы рассмотрим квадратные неравенства. Вначале вспомним свойства квадратичных функций и решение квадратных уравнений: дискриминант, теорему Виета, разложение на множители. Решим несколько примеров на рассмотренные темы.

Тема: Рациональные неравенства и их системы

Урок: Решение квадратных неравенств

1. Определение квадратного неравенства

Определение: Квадратное неравенство – это неравенство вида

В случае если a=0, мы получаем линейное неравенство.

Вспомним терминологию.

x - независимая переменная. Необходимо найти множество всех x, при которых неравенство выполняется.

a,b,c – конкретные числа, параметры;

 квадратный трехчлен;

квадратичная функция.

Решение квадратного неравенства целиком основано на свойствах квадратичной функции.

Вспомним и изучим эти свойства на примерах.

2. Решение квадратного неравенства, когда трехчлен не имеет корней

Решить неравенства:

a.  

Рассмотрим функцию  Построим и прочтем ее график.

Графиком квадратичной функции является парабола, шаблон - парабола  сдвинутая относительно начала координат.

Определим координаты вершины.

 

Схематически изобразим график функции. Ветви параболы направлены вверх, т.к. .

Теперь прочтем полученный график.

Функция определена при . Основное свойство данной функции заключается в том, что  при всех  Более того,

Ответ:

Мы рассмотрели случай, когда график функции не пересекает ось ox.

3. Решение квадратного неравенства, когда трехчлен имеет один корень

b.  

Рассмотрим функцию

Найдем корни квадратного трехчлена

D=8-8=0, значит

Схематически построим график функции

Корень x=1;

графиком является парабола, значит ветви направлены вверх.

Прочитаем график.

На промежутке  функция положительна. На промежутке  функция также положительна. При

Ответ:  

Мы рассмотрели случай, когда кривая касается оси ox в одной точке.

4. Решение квадратного неравенства, когда трехчлен имеет два корня

c.

Найдем корни квадратного трехчлена  Воспользуемся теоремой Виета.

 

 

Схематически изобразим график функции

Это парабола, ветви направлены вверх, т.к.

Прочитаем график. На промежутке  функция положительна.

На промежутке  функция отрицательна.

В точках пересечения с осью ox функция равна нулю.

Ответ:  

 

5. Свойство квадратичной функции с двумя корнями

Мы продемонстрировали методику решения квадратных неравенств для трех случаев:

1. Соответствующий квадратный трехчлен не имеет корней.

2. Квадратный трехчлен имеет один корень.

3. Квадратный трехчлен имеет два корня.

Сформулируем важнейшее свойство квадратичной функции для случая, когда соответствующий квадратный трехчлен имеет два корня.

Функция сохраняет свой знак вне интервала корней трехчлена. Функция сохраняет свой знак внутри интервала корней трехчлена. Функция меняет свой знак при переходе аргумента через корень.

Эти простейшие свойства, которые мы повторили, лежат в основе решения квадратных неравенств.

6. Решение задач

Продолжим решение неравенств.

1.  

Рассмотрим функцию

Найдем корни трехчлена  Один из корней легко определить методом подбора. Возьмем  Проверяем:  корень подходит.

Второй корень найдем по теореме Виета.

 

Построим эскиз графика функции. Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Отметим знаки на интервалах знакопостоянства и выберем интервалы, удовлетворяющие нашим условиям.

Ответ:  

 

Мы продемонстрировали на примере применение методики решения квадратных неравенств. Один из корней мы нашли методом подбора, рассмотрим еще один подобный пример.

2.

Рассмотрим уравнение  Можно ли угадать корень такого уравнения? Очевидно, что один из корней  Второй корень найдем по теореме Виета.

Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх. Построим эскиз графика.

Вне интервала корней функция положительна, внутри интервала – отрицательна. Нашему условию удовлетворяет промежуток внутри интервала корней.

Ответ:  

Рассмотрим сопутствующую задачу: найти все целочисленные решения неравенства.

Точки пересечения графика с осью ox выколотые, не являются решениями. В рассматриваемом интервале только одно целочисленное решение,

Ответ:

Бывают неполные квадратные неравенства, вот одно из них:

3.

 

Рассмотрим функцию

Построим график, ветви параболы направлены вверх.

Нашему условию удовлетворяет интервал вне корней.

Ответ:  

7. Заключение

Мы рассмотрели квадратные неравенства, методику их решения, и проиллюстрировали ее на конкретных примерах.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).

4. Виртуальный репетитор (Источник).

5. Раздел College.ru по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.№№ 5; 6; 7.