Классы
Предметы

Решение рациональных неравенств повышенной сложности

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Решение рациональных неравенств повышенной сложности

На этом уроке мы продолжим решение рациональных неравенств повышенной сложности с помощью метода интервалов. В примерах будут использованы более сложные комбинированные функции и будут рассмотрены типовые ошибки, возникающие при решении подобных неравенств.

Тема урока, введение

Мы решали рациональные неравенства вида  и для их решения использовали метод интервалов. Функция была либо линейная, либо дробно-линейная, либо многочлен.  

Решение задач

Рассмотрим неравенства другого типа.

1. Решить неравенство

Преобразуем неравенство с помощью эквивалентных преобразований.

Теперь можно исследовать функцию

Рассмотрим функцию  нет корней.

Схематически изобразим и прочитаем график функции (Рис. 1).

Функция  положительна при любом .

 

Т.к. мы установили, что  можем поделить обе части неравенства на это выражение.

Чтобы дробь была положительной, при положительном числителе должен быть положительный знаменатель.

Рассмотрим функцию .

 

 

 

 

 

 

Схематически изобразим график функции - параболу,  значит ветви направлены вниз (Рис. 2).

Ответ:

2. Решить неравенство

Рассмотрим функцию

1. Область определения  

2. Нули функции  

3. Выделяем интервалы знакопостоянства.

4. Расставляем знаки (Рис. 3).

 

 

 

 

Если скобка находится в нечетной степени, при переходе через корень функция меняет знак. Если скобка находится в четной степени, функция не меняет знак.

 

Мы допустили типовую ошибку – не включили в ответ корень . В данном случае равенство нулю допускается, т.к. неравенство нестрогое.

Чтобы не допускать таких ошибок, необходимо помнить, что

Ответ: 

Мы рассмотрели метод интервалов для сложных неравенств и возможные типовые ошибки, а также пути их устранения.

Рассмотрим еще один пример.

3. Решить неравенство

Разложим на множители каждую скобку в отдельности.

 

 

 

 

 

 

 т.к.  

, потому можно не учитывать этот множитель.

Теперь можно применить метод интервалов.

Рассмотрим  Сокращать числитель и знаменатель на  мы не будем, это ошибка.

1. Область определения  

2. Нули функции нам уже известны

 не является нулем функции, т.к. не входит в область определения -  в этом случае знаменатель равен нулю.

3. Определяем интервалы знакопостоянства.

4. Расставляем знаки на интервалах и выбираем промежутки, удовлетворяющие нашим условиям (Рис. 4).

Ответ:

Заключение

Мы рассмотрели неравенства повышенной сложности, но метод интервалов дает нам ключ к их решению, поэтому мы будем использовать его и в дальнейшем.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 37; 45(а,в); 47(б,г); 49.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).

4. Виртуальный репетитор (Источник).

5. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

6. Раздел College.ru по математике (Источник).