Классы
Предметы

Метод подстановки

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Метод подстановки

На этом уроке мы вспомним и обсудим метод подстановки на примере линейных систем, а потом перейдем к решению нелинейных систем

Метод подстановки в линейных системах

Дана линейная система двух уравнений с двумя неизвестными х и у, решаем методом подстановки:

Выражаем у через х, подставляем это выражение в первое уравнение:

          

Видим, что первое уравнение зависит только от х, решаем первое уравнение отдельно:

Зная х, находим значение у:

Суть метода подстановки

Суть метода подстановки:

Выразить одну переменную через другую из любого уравнения системы.

Подставить полученное выражение в другое уравнение системы и решить как одно уравнение с одной неизвестной переменной.

Зная одну переменную, найти другую из исходного уравнения.

Метод позволяет свести решение системы к решению одного уравнения с одним неизвестным.

Специфика линейных систем

Система линейных уравнений может иметь одно решение, иметь бесконечное множество решений и может не иметь решений.

Метод подстановки все это показывает.

Пример 1

Решить систему уравнений:

Решение:

Находим х, выражая его через у. В этой системе это удобно сделать в первом уравнении. Подставляем его во второе уравнение, раскрывая скобки в нем, приводим подобные члены и приходим к противоречию. То есть данная система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Можно показать противоречивость этой системы по-другому.

Первое уравнение остается без изменений, а второе делим почленно на -2. Получим, что  

 

Система противоречива, потому что каждое линейное уравнение имеет геометрический образ – прямую линию. Прямые линии могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или же совпадать.

Метод подстановки в нелинейных системах

Пример 1

Решите систему уравнений:

Уравнение х+3у=5 – это линейное уравнение, второе уравнение – ху=2 – нелинейное. Значит, вся система нелинейная.

Решение:

Удобно выразить х через у в первом уравнении, подставляем полученное уравнение во второе. Решаем второе уравнение, раскрываем скобки, приводим к стандартному виду и получаем квадратное уравнение. Получив корни квадратного уравнения, находим х1 через у1, также х2 через у2.

Решение получилось с двумя парами чисел. Первые числа в скобках – это х, вторые числа – у.

Ответ: (2;1); (3;).

Решение методом подстановки в нелинейных системах

Пример 1

Решите систему уравнений:

Уравнение  – это линейное уравнение, второе уравнение –  – нелинейное. Значит, система вся нелинейная.

Решение:

Выбираем, что удобнее выразить, х или у. Подставлять нужно во второе уравнение, удобнее будет решать со значением в первой степени, значит, выразим у через х. Подставим первое уравнение  во второе, имеем уравнение с одной неизвестной х, решаем его отдельно. Выписываем теорему Виета и получаем корни x1 и x2. Подставляем полученные значения х в первое уравнение.

 

Ответ: (6;5); (-4;-5).

 – знак эквивалентности множества решений систем.

Пример 2

Решите систему уравнений:

Решение:

Из второго уравнения выражаем у. Подставляем в первое уравнение, полученное уравнение с одним неизвестным решаем отдельно. Упрощаем уравнение, разделяем обе части уравнения почленно на 2. Раскрываем скобки, приводим подобные члены, получаем квадратное уравнение. Для удобства избавляемся от знака минус перед х2, умножив обе части уравнения на -1. Видно, что корни этого уравнения можно найти с помощью теоремы Виета. Получив корни данного уравнения, подставляем их в исходную систему, зная х1, находим у1, а через х2 находим у2.

Ответ: (12;16); (4;0).

Пример 3

Решите систему уравнений:

Решение:

Из второго уравнения находим х через у. Полученное выражение подставляем в первое уравнение, решаем его отдельно. Раскрываем скобки, приводим подобные члены, затем сокращаем на 5. Полученное простое уравнение можно решить и через теорему Виета, и через дискриминант. Получив корни данного уравнения, подставляем их в исходную систему, зная у1, находим х1, а через у2 находим х2.

Ответ: (3;1); (-3;-2)

Пример 4

Решите систему уравнений:

Решение:

В этом уравнении сначала необходимо избавиться от дроби, учитывая, что у+1≠0 т. е. у≠-1. Избавившись от дроби, получаем линейное уравнение, в котором х выражен через у, подставляем его в первое уравнение. Затем полученное уравнение сокращаем, для удобства решения, на 4 и находим у. Подставляем их в исходную систему, зная у1, находим х1, а через у2 находим х2.

Ответ: (8;1); (-8;-3).

Пример 5

Решите систему уравнений: 

Решение:

Для того чтобы решить систему, нужно упростить второе уравнение, при этом учесть ху≠0. Приводим все к общему знаменателю 4ху, дробь будет равна нулю, если знаменатель не равен нулю, а числитель равен нулю.

--=0

Вместо второго уравнения с дробями, ставим его выражение в виде, полученном после приведения к общему знаменателю. А из первого уравнения выражаем у через х. Подставляем во второе уравнение, раскрываем скобки, приводим подобные члены, решаем с помощью теоремы Виета. Получив корни данного уравнения, подставляем их в исходную систему, зная х1, находим у1, а через х2 находим у2.

Ответ: (2;4); (12;-6).

Квадратное уравнение

ах2+bx+c=0 – стандартный вид

a ≠ 0

Теорема Виета:

   

 разложение на множители

Подбор корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета

Очень часто можно подобрать решение уравнения, рассмотрим на примере предыдущего уравнения:

 –коэффициенты 3 и 2 уравновешены, в сумме дают 5, значит

подставив первый корень в теорему Виета, получаем второй корень уравнения.

Ответ: ;

Чтобы убедиться в эффективности теоремы, рассмотрим еще такое квадратное уравнение:

 коэффициенты тоже уравновешены, следовательно

  из теоремы Виета находим второй корень.

Ответ: ;                   

Решение с помощью теоремы Виета позволило избежать громоздкого решения через дискриминант.

Заключение

Мы рассмотрели метод подстановки и решили им серию линейных и нелинейных систем. На следующем уроке мы рассмотрим метод алгебраического сложения для решения систем.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 192 с.: ил.
  2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил.
  3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. – 7-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008.
  4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. – 16-е изд. – М.: 2011. – 287 с.
  5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 12-е изд., стер. – М.: 2010. – 224 с.: ил.
  6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. – М.: 2010. – 223 с.: ил.

 

Домашнее задание

  1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 143 с.: ил. № 120–124.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Раздел College.ru по математике (Источник).
  2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).
  3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).