Классы
Предметы

Основные методы решения систем повышенной сложности

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Основные методы решения систем повышенной сложности

На этом уроке мы продолжим изучение всех трех основных методов решения систем уравнений и их комбинаций на примере решения систем повышенной сложности. А также рассмотрим некоторые специфические приемы для упрощения различных типов систем.

Тема урока, введение

Выбор метода решения системы зависит от её специфики. Основными являются стандартные методы – метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных. Возможны иные методы и их комбинации. Рассмотрим их на примерах.

Пример решения системы комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения

Пример 1. Решить систему

Решение: Специфика данной системы в том, что второе уравнение раскладывается на множители

Решение системы методом подстановки

 

Мы получили систему, линейную относительно . Исходную систему упростили методом подстановки. Полученную систему решаем методом алгебраического сложения.

Решение системы методом алгебраического сложения

 

 

Мы решили систему комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения.

Ответ:

Решение систем уравнений

Пример 2. Решить систему

Решение: Можно сделать замену переменной и тем самым понизить степень уравнения. Но мы применим метод подстановки, выразим

 

 

 

 

Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета 

 

 

 

Ответ:

Пример 3. Решить систему

Решение: Применим метод алгебраического сложения, чтобы избавиться от у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Ответ:

Пример 4. Решить систему

Решение: Важно увидеть, что левая часть первого уравнения – это формула квадрата разности.

 

Мы получили линейную систему двух уравнений относительно x и y Вычтем из первого уравнения второе.

 

Ответ: (2; 1).

Пример 5. Решить систему

Заметим, что  и произведем замену переменных:

 

Решаем систему относительно новых переменных:

 

 

Мы решили систему относительно новых переменных, перейдем к старым переменным.

 

 

Ответ:

Пример 6. Решить систему

Решение: Заметим одинаковые члены и почленно поделим одно уравнение на другое.

 

Мы можем сократить на  только если  но это так и есть, т.к. в противном случае исходная система содержала бы противоречие.

По этой же причине и

 

 

 

 

Подставим x в первое уравнение.

 

 

Мы решили систему методом почленного деления уравнений.

Ответ:

Решение систем неоднородных уравнений второй степени

Пример 7. Решить систему

Решение:

В левой части каждого уравнения стоит квадратный трехчлен относительно x с параметром y. Каждый одночлен имеет степень 2, уравнение неоднородное. Есть метод решения таких уравнений, но справа должен быть 0. Умножим первое уравнение на -2.

 

 

 

 

 

 

Ответ:

Пример 8. Решить систему

Решение: Имеем систему двух неоднородных уравнений второй степени. Как и в предыдущей системе, нам необходимо обнулить правую часть одного из уравнений. Умножим первое уравнение на -2.

  

 

Мы получили однородное уравнение второй степени.

Решим первое уравнение путем деления на старшую степень x или y.

Тут возможны два варианта  

1.  В таком случае и  Но это создает противоречие во втором уравнении системы.

2.  Разделим обе части уравнения на

 

 

Получили квадратное уравнение относительно .  

Корни квадратного уравнения

 

 

a.  

b.    

возникает противоречие, система не имеет решения.

Ответ:

Вывод, заключение

Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, решили их, обсудили методы решения. Важно, что эти системы были даны в явном виде. На следующих уроках нам придется получать системы, решая текстовые задачи.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 130 – 140(а).