Классы
Предметы

Системы уравнений в задачах на движение

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Системы уравнений в задачах на движение

В этом уроке мы рассмотрим задачи на движение, переведем реальные ситуации на математический язык, составим математические модели – нелинейные системы уравнений – и решим их, тем самым решив исходную задачу.

Решение простейшей задачи

Задача 1.

Расстояние между двумя пунктами по реке составляет 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 часа, против течения – за 2 часа 48 минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение:

Вспомним уравнение прямолинейного равномерного движения:

S – расстояние,

V – скорость,

T – время.

Переведем 2 часа 48 минут в часы, это составит

Пусть x км/ч – скорость лодки в стоячей воде, y км/ч – скорость течения реки. Составим математическую модель.

Если лодка движется по течению, то она имеет скорость км/ч  и пройдет 14 км за время  Если лодка движется против течения, она идет со скоростью  км/ч и пройдет 14 км за время .

Мы получили математическую модель. То же самое можно получить с помощью таблицы.

 

S

V

T

По течению

 14 

  

  

Против течения

14

Решим полученную систему.

Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.

Решение опорных задач

Перед тем как приступить к более сложным задачам, решим две опорные задачи на движение.

1. Первая опорная задача (сближение).

Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг другу два поезда.

Дано:

x, y – скорости поездов, км/ч.

Найти: Время t до их встречи, и расстояния  пройденные до момента их встречи каждым из поездов.

Решение:

Найдем скорость сближения:

Найдем время t до встречи:

Найдем искомые расстояния:

Ответ:

2. Вторая опорная задача.

Первый турист вышел из пункта А. Одновременно второй турист вышел из пункта В. Оба двигаются в направлении луча АВ. Первый догнал второго в пункте С.

Дано:

x, y – скорости первого и второго туристов, км/ч.

Найти: Время t до встречи туристов, расстояния  пройденные первым и вторым туристами до встречи.

Решение:

Найдем скорость сближения:

Найдем время t до встречи:

Найдем искомые расстояния:

Ответ:

Решение задач

Задача 2.

Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда, и встречаются через 5 часов. Если второй поезд отправится на 7 часов раньше первого, то они встретятся через два часа после отправления первого поезда. Найти скорость каждого поезда.

Решение:

Пусть x км/ч, y км/ч – скорости первого и второго поездов.

S – расстояние между городами.

Рассмотрим вначале первый случай. Легко увидеть, что это задача на сближение, т.е. мы сможем пользоваться данными, полученными в первой опорной задаче.

700 км оба поезда пройдут за 5 часов со скоростью сближения

 

Второй случай: те же условия, но первый поезд начал движение через 7 часов после второго. За 7 часов второй поезд прошел км, осталось  км, и только тогда начинает движение первый поезд. Начинается сближение. Поездам нужно пройти  км с  общей скоростью  и они встретятся через 2 часа, т.е.

Мы получили математическую модель.

Упростим полученные уравнения.

 

 

 

Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч.

Задача 3.

Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км. Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 часа 40 минут. В другой раз эта же лодка отошла от пристани, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 часов. Чему равна собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Решение:

Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, y км/ч – скорость течения реки.

Время движения переведем в часы, 4 часа 40 минут =

Опишем первый рейс:

Из А в С лодка шла 45 км по течению со скоростью  км/ч, время в пути составило  ч.

Из С в В лодка шла 15 км против течения, т.е.  ч. Суммарное время в пути составило  ч, т.е.  

Опишем второй рейс:

Из С в А лодка шла 45 км против течения, т.е. была в пути  ч. Из А в В шла 30 км по течению, т.е. была в пути  ч. Общее время в пути составило 7 ч, т.е.  

Решаем полученную систему:

 

Произведем замену переменных:

 

Переходим к старым переменным:

 

Ответ: 12 км/ч, 3 км/ч.

Заключение

Мы рассмотрели текстовые задачи на движение, составили для них математические модели и решили полученные системы. На следующем уроке будут рассматриваться задачи на работу.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
  2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
  3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
  4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
  5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
  6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Домашнее задание

  1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 159, 160, 178 – 180.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Раздел College.ru по математике (Источник).
  2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).
  3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).